Conocí sobre esta constante
por un artículo publicado en gaussianos.com, manteniendo la esencia del
mismo.
Tomamos cualquier número de 4
cifras que no todas sean iguales. Por ejemplo el 5843. Ahora ordenamos las
cifras de mayor a menor y de menor a mayor, obteniendo así otros dos números de
4 cifras. En este caso 8543 y 3458. Ahora al mayor le restamos el menor,
llamemos a este proceso de Kaprekar, y con el número obtenido repetimos el
procedimiento. En este ejemplo sería así :
8543 - 3458 = 5085
8550 - 0558 = 7992
9972 - 2799 = 7173
7731 - 1377 = 6354
6543 - 3456 = 3087
8730 - 0378 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174
Si intentamos seguir siempre
aparecerá este número 6174. Esto ocurre con cualquier número de 4 cifras en un
máximo de 7 pasos. Pues este número se denomina constante de Kaprekar por su
descubridor, el matemático indio Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar. Él se
dedicó principalmente a la teoría de números donde obtuvo ciertos resultados
interesantes. Y uno puede preguntarse : para los números de 4 cifras existe una
constante de Kaprekar.¿Y para el resto?.Pues es sencillo ver que existe una
Constante de Kaprekar para los números de 3 cifras y más complicado ver que
también existe para los números de 6, 8, 9 y 10 cifras, pero no para los de 2,
5 ó 7 cifras.
Inicialmente presentaré para
los números de tres y cuatro cifras, las que el articulo manifiesta son las
fáciles, como se pueden trabajar en Mathematica. Es recomendable
descargar el archivo anexo kaprekar34.nb para poder manipularlo, no sólo
leerlo.
En Mathematica
Generamos una función
kaprekar[len,num] que realiza el proceso de Kaprekar: donde la variable len nos
indica el número de cifras del número y num corresponde al número que le
aplicamos el proceso de Kaprekar.
kaprekar[len_Integer,num_Integer]:=Module[{lis},lis=IntegerDigits[num,10,len];FromDigits@Sort[lis,Greater]-FromDigits@Sort[lis]]
Números de tres cifras
Realicemos el procedimiento
con un ejemplo: 123
NestList[kaprekar[3,#]&,123,10]
{123,198,792,693,594,495,495,495,495,495,495}
Tal parece que la Constante de
Kaprekar para números de tres cifras es : 495
Realicemos el procedimiento
para todos los números de tres cifras
lista3=Table[{n,FixedPoint[kaprekar[3,#]&,n]},{n,100,999,1}];
DeleteDuplicates[Transpose[lista3][[2]]]
{495,0}
El resultado al que convergen
es cero o 495, veamos como se distribuyen:
ListPlot[lista3]
Los números que convergen a
cero son :
kar3={};
Do[If[FixedPoint[kaprekar[3,#]&,n]==0,AppendTo[kar3,n]],{n,100,999}]
kar3
{111,222,333,444,555,666,777,888,999}
que corresponden a todos los
números de tres cifras que tienen todas sus cifras iguales.
Sí, es cierto, la Constante de
Kaprekar de tres cifras es : 495
En cuántos pasos se alcanza?
ListPlot[Table[Tooltip[{n,Length[FixedPointList[kaprekar[3,#]&,n]]-2}],{n,100,999,1}]]
Máximo en seis pasos, por
ejemplo con 101:
NestList[kaprekar[3,#]&,101,10]
{101,99,891,792,693,594,495,495,495,495,495}
Números de cuatro cifras
Realicemos el procedimiento
con un ejemplo: 1234
NestList[kaprekar[4,#]&,1234,10]
{1234,3087,8352,6174,6174,6174,6174,6174,6174,6174,6174}
Tal parece que la Constante de
Kaprekar para números de cuatro cifras es : 6174
Realicemos el procedimiento
para todos los números de cuatro cifras
lista4=Table[{n,FixedPoint[kaprekar[4,#]&,n]},{n,1000,9999,1}];
DeleteDuplicates[Transpose[lista4][[2]]]
{6174,0}
Sí, es cierto, la Constante de
Kaprekar de cuatro cifras es : 6174
Cómo se distribuyen?
ListPlot[Tooltip[lista4]]
Los números que convergen a
cero son :
kar4={};
Do[If[FixedPoint[kaprekar[4,#]&,n]==0,AppendTo[kar4,n]],{n,1000,9999}]
kar4
{1111,2222,3333,4444,5555,6666,7777,8888,9999}
En cuántos pasos converge cada
número?
ListPlot[Table[Tooltip[{n,Length[FixedPointList[kaprekar[4,#]&,n]]-2}],{n,1000,9999,1}]]
Máximo en siete pasos.
Propuesta
Basados en el presente
trabajo, o cualquier otra forma que encuentren, planteó estudiar lo siguiente :
1. Qué pasa para los números
de 6, 8, 9 y 10 cifras? Cuál es la Constante de Kaprekar?
2. Qué pasa para los números
de 2, 5 y 7 cifras?
3. Es la función de kaprekar
inyectiva? Tiene inversa?
Referencias
La página de gaussianos.com http://gaussianos.com/la-constante-de-kaprekar/
Espero sus comentarios!!!
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