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lunes, 12 de septiembre de 2016

Constante de Kaprekar



Conocí sobre esta constante por un artículo publicado en gaussianos.com, manteniendo la esencia del mismo. 
  

Tomamos cualquier número de 4 cifras que no todas sean iguales. Por ejemplo el 5843. Ahora ordenamos las cifras de mayor a menor y de menor a mayor, obteniendo así otros dos números de 4 cifras. En este caso 8543 y 3458. Ahora al mayor le restamos el menor, llamemos a este proceso de Kaprekar, y con el número obtenido repetimos el procedimiento. En este ejemplo sería así : 
  
8543 - 3458 = 5085
8550 - 0558 = 7992
9972 - 2799 = 7173
7731 - 1377 = 6354
6543 - 3456 = 3087
8730 - 0378 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174


Si intentamos seguir siempre aparecerá este número 6174. Esto ocurre con cualquier número de 4 cifras en un máximo de 7 pasos. Pues este número se denomina constante de Kaprekar por su descubridor, el matemático indio Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar. Él se dedicó principalmente a la teoría de números donde obtuvo ciertos resultados interesantes. Y uno puede preguntarse : para los números de 4 cifras existe una constante de Kaprekar.¿Y para el resto?.Pues es sencillo ver que existe una Constante de Kaprekar para los números de 3 cifras y más complicado ver que también existe para los números de 6, 8, 9 y 10 cifras, pero no para los de 2, 5 ó 7 cifras.


Inicialmente presentaré para los números de tres y cuatro cifras, las que el articulo manifiesta son las fáciles,  como se pueden trabajar en Mathematica. Es recomendable descargar el archivo anexo kaprekar34.nb para poder manipularlo, no sólo leerlo.

En Mathematica



Generamos una función kaprekar[len,num] que realiza el proceso de Kaprekar: donde la variable len nos indica el número de cifras del número y num corresponde al número que le aplicamos el proceso de Kaprekar.

kaprekar[len_Integer,num_Integer]:=Module[{lis},lis=IntegerDigits[num,10,len];FromDigits@Sort[lis,Greater]-FromDigits@Sort[lis]]

Números de tres cifras



Realicemos el procedimiento con un ejemplo: 123

NestList[kaprekar[3,#]&,123,10]
{123,198,792,693,594,495,495,495,495,495,495}

Tal parece que la Constante de Kaprekar para números de tres cifras es : 495


Realicemos el procedimiento para todos los números de tres cifras

lista3=Table[{n,FixedPoint[kaprekar[3,#]&,n]},{n,100,999,1}];
DeleteDuplicates[Transpose[lista3][[2]]]
{495,0}


El resultado al que convergen es cero o 495, veamos como se distribuyen:

ListPlot[lista3]




Los números que convergen a cero son :

kar3={};
Do[If[FixedPoint[kaprekar[3,#]&,n]==0,AppendTo[kar3,n]],{n,100,999}]
kar3
{111,222,333,444,555,666,777,888,999}

que corresponden a todos los números de tres cifras que tienen todas sus cifras iguales.

Sí, es cierto, la Constante de Kaprekar de tres cifras es : 495


En cuántos pasos se alcanza?

ListPlot[Table[Tooltip[{n,Length[FixedPointList[kaprekar[3,#]&,n]]-2}],{n,100,999,1}]]




Máximo en seis pasos, por ejemplo con 101:

NestList[kaprekar[3,#]&,101,10]
{101,99,891,792,693,594,495,495,495,495,495}

Números de cuatro cifras


Realicemos el procedimiento con un ejemplo: 1234

NestList[kaprekar[4,#]&,1234,10]
{1234,3087,8352,6174,6174,6174,6174,6174,6174,6174,6174}

Tal parece que la Constante de Kaprekar para números de cuatro cifras es : 6174


Realicemos el procedimiento para todos los números de cuatro cifras

lista4=Table[{n,FixedPoint[kaprekar[4,#]&,n]},{n,1000,9999,1}];
DeleteDuplicates[Transpose[lista4][[2]]]
{6174,0}

Sí, es cierto, la Constante de Kaprekar de cuatro cifras es : 6174


Cómo se distribuyen?

ListPlot[Tooltip[lista4]]




Los números que convergen a cero son :

kar4={};
Do[If[FixedPoint[kaprekar[4,#]&,n]==0,AppendTo[kar4,n]],{n,1000,9999}]
kar4
{1111,2222,3333,4444,5555,6666,7777,8888,9999}


En cuántos pasos converge cada número?

ListPlot[Table[Tooltip[{n,Length[FixedPointList[kaprekar[4,#]&,n]]-2}],{n,1000,9999,1}]]




Máximo en siete pasos.

Propuesta

Basados en el presente trabajo, o cualquier otra forma que encuentren, planteó estudiar lo siguiente :

1. Qué pasa para los números de 6, 8, 9 y 10 cifras? Cuál es la Constante de Kaprekar?
2. Qué pasa para los números de 2, 5 y 7 cifras?

3. Es la función de kaprekar inyectiva? Tiene inversa?


Referencias

La página de gaussianos.com http://gaussianos.com/la-constante-de-kaprekar/


Espero sus comentarios!!!

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