Constante de Legendre

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El matemático francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833) conjeturó que correspondía aproximadamente al número 1.08366, que se obtenía al calcular el límite:

donde Pi (n) corresponde al número de primos menores o iguales a un número real dado. La existencia de la Constante de Legendre demostraba el comportamiento asintótico de Pi(n) con respecto a n/ln(n).

Table[Log[n] - n/PrimePi[n], {n, 100000, 1000000, 200000}] // N

{1.08757, 1.07174, 1.08519, 1.07888, 1.08282}

Muestra un valor aproximado a la función, y su comportamiento lo vemos en el gráfico

Show[Plot[1.08366, {x, 0, 1000000}, PlotStyle -> Red], 
 ListPlot[Table[Log[n] - n/PrimePi[n], {n, 1000000}]]]

Pero, posteriormente se demostró que el valor del límite es 1, así la Constante de Legendre paso a ser más una anécdota.

AbsoluteTiming[

 ParallelTable[

   Log[n] - n/PrimePi[n], {n, 1000000000000, 10000000000000, 

    1000000000000}] // N]

{36.587541, {1.04087, 1.03974, 1.03911, 1.03868, 1.03834, 1.03807, 

  1.03785, 1.03766, 1.03749, 1.03735}}

Aquí, vemos como ya el valor tiende a 1.