Los Primos Gemelos

Descargar como Notebook

Una pareja de números primos se dice que son gemelos si distan dos unidades, como (3,5), (5,7), (11,13). Y se conjetura que:

Existen infinitas parejas de primos gemelos.

El pasado 14 de septiembre el grupo colaborativo PrimeGrid encontró la pareja de primos gemelos más grande hasta el momento, ellos son:

que tienen cada uno 200700 cifras.

En Mathematica

Vamos a generar la lista de primos gemelos de varias formas :

Forma 1

generamos una lista de las parejas de primos gemelos menores que Prime[numero]

numero = 10000;
gemelos = {};
SetSharedVariable[gemelos]

AbsoluteTiming[
 ParallelDo[
  If[PrimeQ[Prime[k] + 2], 
   AppendTo[gemelos, {Prime[k], Prime[k] + 2}]], {k, numero}];
 gemelos]

Aquí, hay que tener presente que al utilizar el comando ParallelDo se pueden presentar duplicaciones en los resultados, pues cada núcleo del computador por separado puede generar la misma pareja.

Forma 2

Otro código para imprimir la mayor pareja de primos gemelos menor que Prime[numero]

numero = 1000000000;
k = 0;
While[! PrimeQ[Prime[numero - k] + 2], 
 k++]; Print[{Prime[numero - k], Prime[numero - k] + 2}]

{22801763321,22801763323}

Forma 3

Otro código que genera el primer elemento de la pareja de primos gemelos

primergemelo = 
  Select[Range[1000], PrimeQ[#] && NextPrime[#] == 2 + # &];
primergemelo

{3, 5, 11, 17, 29, 41, 59, 71, 101, 107, 137, 149, 179, 191, 197, 227, 239, 269, 281, 311, 347, 419, 431, 461, 521, 569, 599, 617, 641, 659, 809, 821, 827, 857, 881}

Aquí, formamos las parejas de primos gemelos.

Transpose[{primergemelo, primergemelo + 2}]

{{3, 5}, {5, 7}, {11, 13}, {17, 19}, {29, 31}, {41, 43}, {59, 61}, {71, 73}, {101, 103}, {107, 109}, {137, 139}, {149, 151}, {179,181}, {191, 193}, {197, 199}, {227, 229}, {239, 241}, {269, 271}, {281, 283}, {311, 313}, {347, 349}, {419, 421}, {431, 433}, {461, 463}, {521, 523}, {569, 571}, {599, 601}, {617, 619}, {641, 643}, {659, 661}, {809, 811}, {821, 823}, {827, 829}, {857, 859}, {881, 883}}

Constante de Brun B2

Corresponde al número resultante de la sumatoria de los inversos multiplicativos de las parejas de números gemelos

si esta suma fuera divergente se tendría demostrada la conjetura de los primos gemelos, pues serían infinitos. Pero en 1919 Viggo Brun demostró su convergencia, y en el año 2002 Pascal Sebah y Patrick Demichel han calculado su valor en 1.902160583104

Calculando el valor de B2 con los primos gemelos entre los primeros 10000 números primos, como comentaba en la Forma 1, gemelos puede tener duplicaciones de parejas, así se deben eliminar:

geme = DeleteDuplicates[gemelos];

1.74268

valor lejano al encontrado en 2002.