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lunes, 19 de diciembre de 2016

Algunas Clases de Números y sus Conjeturas




Números Perfectos

Son los números enteros positivos que al sumar sus divisores propios se obtiene el mismo número.

Por ejemplo el número 6 , sus divisores son:

Divisors[6]
{1, 2, 3, 6}

Y la suma de sus divisores propios:

Total[Divisors[6]] - 6
6

resto 6 para dejar únicamente la suma de los divisores propios, como se obtiene el mismo número quiere decir que es perfecto.

Se conocen muy pocos de ellos y se conjetura la existencia de más, ya veremos por qué?, calculemos algunos entre el primer millón de enteros positivos:

perfectos = {};
Do[If[Total[Divisors[n]] == 2 n, AppendTo[perfectos, n]], {n, 1, 
  1000000}]
perfectos

{6, 28, 496, 8128}

Hasta aquí hemos trabajado con las funciones básicas de Mathematica, pero por la labor que se puede realizar en investigación con Mathematica entre otras ramas como teoría de números, se tienen funciones que facilitan el trabajo, en este caso PerfectNumber. Aquí pedimos que nos calcule los diez primeros números perfectos:

Table[PerfectNumber[n], {n, 10}]

{6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328,
2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176,
191561942608236107294793378084303638130997321548169216}

El décimo con 54 cifras de longitud.

Euclides observó que los cuatro primeros números perfectos, los que se conocían hasta el momento, cumplían la fórmula:


recordemos que ya en una entrada del 19 de septiembre de 2016 hablamos de los primos de Mersenne que son los primos de la forma 2^p-1, de los cuales se conocen hasta el momento 49, los mismos que números perfectos.

Otra curiosidad, si los escribimos en forma binaria:

BaseForm[perfectos, 2]



siempre son unos seguidos de ceros, pues son de la forma:


potencias de dos que generan unos menos una potencia menor de dos que genera los ceros al final.

Conjeturas

1. Existen infinitos números perfectos, ligada a la Conjetura de Mersenne.
2. Existen números perfectos impares.

Y una pregunta fácilmente demostrable, que todos los números perfectos pares terminan en 6 o 8. Demuéstrelo!!!

Números Deficientes

Son los números enteros positivos que al sumar sus divisores propios se obtiene una cantidad menor que el número inicial.

El código para encontrarlos es sencillo, trabájelo!!

Números Abundantes

Son los números enteros positivos que al sumar sus divisores propios se obtiene una cantidad mayor que el número inicial.

El código para encontrarlos es sencillo, trabájelo!!

Si unimos los números perfectos, con los deficientes y los abundantes obtenemos todos los enteros positivos.

Números Amigos

Son dos enteros positivos diferentes tales que la suma de los divisores propios de uno dan el otro y viceversa. Se especifica diferentes para excluir las parejas de números perfectos con ellos mismos.

Estos números tienen una larga historia entre los griegos y los árabes, junto con matemáticos destacados como Leonhard Euler, Pierre de Fermat y René Descartes.

amigos = {};
Do[If[Total[Divisors[Total[Divisors[n]] - n]] == Total[Divisors[n]] && 2 n != Total[Divisors[n]], AppendTo[amigos, {n, Total[Divisors[n]] - n}]], {n, 100000}]
amigos

{{220, 284}, {284, 220}, {1184, 1210}, {1210, 1184}, {2620, 2924}, {2924, 2620}, {5020, 5564}, {5564, 5020}, {6232, 6368}, {6368, 6232}, {10744, 10856}, {10856, 10744}, {12285, 14595}, {14595, 12285}, {17296, 18416}, {18416, 17296}, {63020, 76084}, {66928, 66992}, {66992, 66928}, {67095, 71145}, {69615, 87633}, {71145, 67095}, {76084, 63020}, {79750, 88730}, {87633, 69615}, {88730, 79750}}

Ejercicio: Modifique el código para que cada pareja aparezca una sola vez.

Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para determinar números amigos: si


con n entero mayor que uno y p, q y r son primos, entonces



son amigos. Esta fórmula nos da una condición suficiente más no necesaria, pues existen parejas de números amigos que no la satisfacen.

Ejercicio : Desarrolle un código que genere parejas de números amigos utilizando la fórmula de Tabit ibn Qurra. Encuentre una pareja de números amigos que no cumpla esta fórmula.

Conjetura

Existen infinitas parejas de números amigos que no cumplen la fórmula de Tabit ibn Qurra.

Números Sociables

Generaliza la idea de números amigos a más de dos. Se genera una sucesión donde la suma de los divisores propios de un término generan el siguiente y se pide que se repita el primero en la sucesión.

No se conocen ternas de números sociables, pero sí cuartetas como por ejemplo:

(1264460, 1547860, 1727636, 1305184) Compruébelo!!!

Ejercicio : Realice un código para probar que no existen ternas de números sociables menores que un millón.

Conjetura

No existen ternas de números sociables.

Números Semiperfectos

Son los números enteros positivos cuya suma de algunos de sus divisores propios da el número inicial. Por tanto estos números son abundantes.

Por ejemplo en número 12 es semiperfecto, pues:

Divisors[12]
{1, 2, 3, 4, 6, 12}

1 + 2 + 3 + 6 = 12, sin tomar el 4,
2 + 4 + 6 = 12, sin tomar el 1 y 3. No hay más posibilidades.

Código para determinar números semiperfectos menores que 100:

semiperfectos = {};
Do[If[MemberQ[Total /@ Drop[Subsets[Drop[Divisors[n], -1]], Length[Divisors[n]]],n], AppendTo[semiperfectos, n]], {n, 100}]
semiperfectos

{6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 
80, 84, 88, 90, 96, 100}

Conjetura

Sea m un número natural mayor que cero, si n es un número semiperfecto que resulta de multiplicar m por un número perfecto y el resultado de este producto dividido entre dos es par, entonces existen por lo menos m formas de expresar el número n mediante la suma de sus divisores propios.

Aclaremos, supongamos que vamos a tomar como m=2 y n=12, claramente n resulta de multiplicar el número perfecto 6 por m. Al dividir por dos este producto, el número semiperfecto, obtenemos un número par 6, por tanto se pueden encontrar m=2 formas de expresar el número semiperfecto como la suma de sus divisores propios. Observe el ejemplo con 12 al comienzo en la definición.

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas


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