Números Primos por Cortes

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El número 357686312646216567629137 de 24 cifras tiene la característica de ser primo, y todos los números que se generan al ir quitando cifras a la izquierda también son primos.

La gracia de este número es que no tiene ceros, pues así se podrían encontrar soluciones demasiados triviales, que no tendrían gracia, como por ejemplo:

PrimeQ[1000000000000000000000007]
True

Verifiquemos que el número 357686312646216567629137 es primo:

PrimeQ[357686312646216567629137]
True

Sí es primo. Ahora para irle retirando cifras a la izquierda, obtenemos la lista de sus dígitos :

numlis = IntegerDigits[357686312646216567629137]
{3, 5, 7, 6, 8, 6, 3, 1, 2, 6, 4, 6, 2, 1, 6, 5, 6, 7, 6, 2, 9, 1, 3, 7}

Retiramos su primer elemento y formamos el número:

Rest[numlis]
{5, 7, 6, 8, 6, 3, 1, 2, 6, 4, 6, 2, 1, 6, 5, 6, 7, 6, 2, 9, 1, 3,7}

Formamos el número que se obtiene:

FromDigits[%]
57686312646216567629137

verificamos que también es primo:

PrimeQ[57686312646216567629137]
True

Ahora, realicemos de forma más eficiente esta comprobación :

cortes = {num};

Do[AppendTo[cortes, FromDigits[Rest@IntegerDigits[cortes[[n]]]]], {n,23}]
cortes

{357686312646216567629137, 57686312646216567629137, 7686312646216567629137, 686312646216567629137, 86312646216567629137, 6312646216567629137, 312646216567629137, 12646216567629137, 2646216567629137, 646216567629137, 46216567629137, 6216567629137, 216567629137, 16567629137, 6567629137, 567629137, 67629137, 7629137, 629137, 29137, 9137, 137, 37, 7}

PrimeQ[cortes]
{True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True}

Así, todos los números obtenidos por este procedimiento de retirar la primera cifra de la izquierda a partir de 357686312646216567629137 son números primos.

Ahora, desarrollemos algunas ideas y preguntas sobre este procedimiento.

Demostremos que es el número más grande, sin ceros, con esta característica.

A partir de el conjunto de los primos de una cifra pri[1]={2,3,5,7}, agregamos dígitos a la izquierda conformando conjuntos de primos, y así sucesivamente:

Clear[p]
Table[pri[n] = {}, {n, 2, 30}];
pri[1] = {2, 3, 5, 7};
Do[Do[Do[If[PrimeQ[pri[p][[n]] + k 10^p], 
    AppendTo[pri[p + 1], pri[p][[n]] + k 10^p]], {k, 1, 9}], {n, 
   Length[pri[p]]}], {p, 25}]
pri[24]
Length[pri[25]]

{357686312646216567629137}
0

Vemos que es el último número de 24 cifras y no existen de 25 cifras.

Graficamos por cantidad de dígitos cuantos números con esta propiedad se encuentran:

Table[Length[pri[n]], {n, 24}]
{4, 11, 39, 99, 192, 326, 429, 521, 545, 517, 448, 354, 276, 212, 117, 72, 42, 24, 13, 6, 5, 4, 3, 1}

Show[ListPlot@Table[Length[pri[n]], {n, 24}], 
 AxesLabel -> {HoldForm[Dígitos], HoldForm[Cantidad de Números]}, 
 PlotLabel -> HoldForm[Números que cumplen la propiedad], 
 LabelStyle -> {GrayLevel[0]}]

Cuál es el número más pequeño, de una, dos o tres cifras, que se puede agregar a 357686312646216567629137 a la izquierda tal que sea primo?

n = 1;
cand = {};
While[! PrimeQ[357686312646216567629137 + n 10^24], AppendTo[cand, 357686312646216567629137 + n 10^24]; n++]
cand

{1357686312646216567629137, 2357686312646216567629137,
3357686312646216567629137, 4357686312646216567629137, 
5357686312646216567629137, 6357686312646216567629137, 
7357686312646216567629137, 8357686312646216567629137, 
9357686312646216567629137, 10357686312646216567629137,
11357686312646216567629137, 12357686312646216567629137, 
13357686312646216567629137, 14357686312646216567629137, 
15357686312646216567629137, 16357686312646216567629137, 
17357686312646216567629137, 18357686312646216567629137, 
19357686312646216567629137, 20357686312646216567629137}

PrimeQ[cand]
{False, False, False, False, False, False, False, False, False, 
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, 
False}

PrimeQ[357686312646216567629137 + 21 10^24]
True

357686312646216567629137 + 21 10^24
21357686312646216567629137

Si únicamente hubiéramos agregado 1 a la izquierda el número obtenido no es primo.

Cuál el número más grande posible terminado en 3 con la misma característica y sin ceros?

Los números tienen que terminar en primo 2,3,5,7. En 2 y 5 no puede ser pues ya de dos cifras no es primo,  por tanto estos números sólo pueden terminar en 3 o 7. En los números de 20 dígitos únicamente de los seis restantes hay uno que termina en tres que es: 36484957213536676883

pri[20]
{36484957213536676883, 67986315421273233617, 86312646216567629137,
18918997653319693967, 15396334245663786197, 66276812967623946997}

En los de 21 dígitos ya no hay terminados en tres:

pro[21]
{367986315421273233617, 686312646216567629137, 918918997653319693967,
315396334245663786197, 666276812967623946997}

Ejercicio : Si la propiedad fuera agregando cifras a la derecha con la misma característica que los números obtenidos en cada paso sean primos. Cuál sería el número más grande que se puede obtener?


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