Entrada destacada

Juego del Caos cambiando el dado al orden del Genoma

miércoles, 14 de diciembre de 2016

Números Primos por Cortes



El número 357686312646216567629137 de 24 cifras tiene la característica de ser primo, y todos los números que se generan al ir quitando cifras a la izquierda también son primos.

La gracia de este número es que no tiene ceros, pues así se podrían encontrar soluciones demasiados triviales, que no tendrían gracia, como por ejemplo:

PrimeQ[1000000000000000000000007]
True

Verifiquemos que el número 357686312646216567629137 es primo:

PrimeQ[357686312646216567629137]
True

Sí es primo. Ahora para irle retirando cifras a la izquierda, obtenemos la lista de sus dígitos :

numlis = IntegerDigits[357686312646216567629137]
{3, 5, 7, 6, 8, 6, 3, 1, 2, 6, 4, 6, 2, 1, 6, 5, 6, 7, 6, 2, 9, 1, 3, 7}

Retiramos su primer elemento y formamos el número:

Rest[numlis]
{5, 7, 6, 8, 6, 3, 1, 2, 6, 4, 6, 2, 1, 6, 5, 6, 7, 6, 2, 9, 1, 3,7}

Formamos el número que se obtiene:

FromDigits[%]
57686312646216567629137

verificamos que también es primo:

PrimeQ[57686312646216567629137]
True

Ahora, realicemos de forma más eficiente esta comprobación :

cortes = {num};

Do[AppendTo[cortes, FromDigits[Rest@IntegerDigits[cortes[[n]]]]], {n,23}]
cortes

{357686312646216567629137, 57686312646216567629137, 7686312646216567629137, 686312646216567629137, 86312646216567629137, 6312646216567629137, 312646216567629137, 12646216567629137, 2646216567629137, 646216567629137, 46216567629137, 6216567629137, 216567629137, 16567629137, 6567629137, 567629137, 67629137, 7629137, 629137, 29137, 9137, 137, 37, 7}

PrimeQ[cortes]
{True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True}

Así, todos los números obtenidos por este procedimiento de retirar la primera cifra de la izquierda a partir de 357686312646216567629137 son números primos.

Ahora, desarrollemos algunas ideas y preguntas sobre este procedimiento.

Demostremos que es el número más grande, sin ceros, con esta característica.

A partir de el conjunto de los primos de una cifra pri[1]={2,3,5,7}, agregamos dígitos a la izquierda conformando conjuntos de primos, y así sucesivamente:

Clear[p]
Table[pri[n] = {}, {n, 2, 30}];
pri[1] = {2, 3, 5, 7};
Do[Do[Do[If[PrimeQ[pri[p][[n]] + k 10^p], 
    AppendTo[pri[p + 1], pri[p][[n]] + k 10^p]], {k, 1, 9}], {n, 
   Length[pri[p]]}], {p, 25}]
pri[24]
Length[pri[25]]

{357686312646216567629137}
0

Vemos que es el último número de 24 cifras y no existen de 25 cifras.

Graficamos por cantidad de dígitos cuantos números con esta propiedad se encuentran:

Table[Length[pri[n]], {n, 24}]
{4, 11, 39, 99, 192, 326, 429, 521, 545, 517, 448, 354, 276, 212, 117, 72, 42, 24, 13, 6, 5, 4, 3, 1}

Show[ListPlot@Table[Length[pri[n]], {n, 24}], 
 AxesLabel -> {HoldForm[Dígitos], HoldForm[Cantidad de Números]}, 
 PlotLabel -> HoldForm[Números que cumplen la propiedad], 
 LabelStyle -> {GrayLevel[0]}]


Cuál es el número más pequeño, de una, dos o tres cifras, que se puede agregar a 357686312646216567629137 a la izquierda tal que sea primo?

n = 1;
cand = {};
While[! PrimeQ[357686312646216567629137 + n 10^24], AppendTo[cand, 357686312646216567629137 + n 10^24]; n++]
cand

{1357686312646216567629137, 2357686312646216567629137,
3357686312646216567629137, 4357686312646216567629137, 
5357686312646216567629137, 6357686312646216567629137, 
7357686312646216567629137, 8357686312646216567629137, 
9357686312646216567629137, 10357686312646216567629137,
11357686312646216567629137, 12357686312646216567629137, 
13357686312646216567629137, 14357686312646216567629137, 
15357686312646216567629137, 16357686312646216567629137, 
17357686312646216567629137, 18357686312646216567629137, 
19357686312646216567629137, 20357686312646216567629137}

PrimeQ[cand]
{False, False, False, False, False, False, False, False, False, 
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, 
False}

PrimeQ[357686312646216567629137 + 21 10^24]
True

357686312646216567629137 + 21 10^24
21357686312646216567629137

Si únicamente hubiéramos agregado 1 a la izquierda el número obtenido no es primo.

Cuál el número más grande posible terminado en 3 con la misma característica y sin ceros?

Los números tienen que terminar en primo 2,3,5,7. En 2 y 5 no puede ser pues ya de dos cifras no es primo,  por tanto estos números sólo pueden terminar en 3 o 7. En los números de 20 dígitos únicamente de los seis restantes hay uno que termina en tres que es: 36484957213536676883

pri[20]
{36484957213536676883, 67986315421273233617, 86312646216567629137,
18918997653319693967, 15396334245663786197, 66276812967623946997}

En los de 21 dígitos ya no hay terminados en tres:

pro[21]
{367986315421273233617, 686312646216567629137, 918918997653319693967,
315396334245663786197, 666276812967623946997}

Ejercicio : Si la propiedad fuera agregando cifras a la derecha con la misma característica que los números obtenidos en cada paso sean primos. Cuál sería el número más grande que se puede obtener?


Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas


No hay comentarios.:

Publicar un comentario