Conjetura de Brocard

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El enunciado de la conjetura es:

Si P[n] representa el enésimo número primo, entonces para todo n número natural mayor que uno se tiene que existen al menos cuatro números primos entre P[n]^2 y P[n+1]^2.

Ejemplificando la afirmación de Brocard

numero = 10;
brocard = {};
Do[AppendTo[
  brocard, {Power[HoldForm@Evaluate[Prime[k]], 2], 
   NextPrime[Prime[k]^2], NextPrime[Prime[k]^2, 2], 
   NextPrime[Prime[k]^2, 3], NextPrime[Prime[k]^2, 4], 
   Power[HoldForm@Evaluate[Prime[k + 1]], 2]}], {k, 2, 
  numero}]; 
brocard

Buscando entre los primeros números primos alguno que incumpla la conjetura, como es de esperarse da vacío

numero = 100;
brocard = {};
Do[If[NextPrime[Prime[k]^2, 4] > Prime[k + 1]^2, 
  AppendTo[brocard, Prime[k]]], {k, 2, numero}]; 
brocard

{}

Buscando un ejemplo donde no se tengan cinco números primos

numero = 100000;
brocard = {};
Do[If[NextPrime[Prime[k]^2, 5] > Prime[k + 1]^2, 
  AppendTo[brocard, Prime[k]]], {k, 2, numero}]; brocard

{}

Tal parece que se podría generalizar a cinco primos.

Ahora, determinaremos el número de primos entre P[n]^2 y P[n+1]^2 pues ya vimos que se tienen más de cuatro

numero = 100;
t = {};
Do[b = 5; While[NextPrime[Prime[k]^2, b] < Prime[k + 1]^2, b++]; 
 AppendTo[t, {Prime[k], b - 1}], {k, 2, numero}]; 
t

{{3, 5}, {5, 6}, {7, 15}, {11, 9}, {13, 22}, {17, 11}, {19, 27}, {23,47}, {29, 16}, {31, 57}, {37, 44}, {41, 20}, {43, 46}, {47, 80}, {53, 78}, {59, 32}, {61, 90}, {67, 66}, {71, 30}, {73, 106}, {79,75}, {83, 114}, {89, 163}, {97, 89}, {101, 42}, {103,87}, {107,42}, {109, 100}, {113, 354}, {127, 99}, {131, 165}, {137,49}, {139, 299}, {149, 58}, {151, 182}, {157, 186}, {163, 128}, {167,198}, {173, 195}, {179, 76}, {181, 356}, {191, 77}, {193, 144}, {197, 75}, {199, 463}, {211, 479}, {223, 168}, {227, 82}, {229,166}, {233, 270}, {239, 90}, {241, 438}, {251, 275}, {257, 274}, {263,292}, {269, 91}, {271, 292}, {277, 199}, {281, 99}, {283, 512}, {293, 735}, {307, 220}, {311, 107}, {313, 215}, {317, 784}, {331,341}, {337, 579}, {347, 125}, {349, 241}, {353, 363}, {359, 489}, {367, 381}, {373, 380}, {379, 252}, {383, 394}, {389, 530}, {397, 262}, {401, 531}, {409, 670}, {419, 151}, {421, 709}, {431,151}, {433, 424}, {439, 290}, {443, 430}, {449, 599}, {457,305}, {461, 145}, {463, 294}, {467, 934}, {479, 612}, {487,313}, {491, 654}, {499, 318}, {503, 483}, {509, 995}, {521,165}, {523, 1513}, {541, 498}}

Este resultado nos muestra, para los 100 primeros números primos, el número primo acompañado de cuantos números primos se tienen desde el numero primo al cuadrado hasta el cuadrado del siguiente primo, y gráficamente:

Show[ListPlot[Tooltip[t]], Plot[4, {x, 0, 550}, PlotStyle -> Red]]

Vemos que conforme crecen los números también crece el numero de primos que se encuentran entre los cuadrados de este primo con el siguiente.

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