Sucesión de los Números Malabaristas (Juggler Number)

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Creada en 1992 por Clifford A. Pickover, se dice que un número es malabarista si pertenece a la sucesión que se forma así :

Partiendo de cualquier entero positivo, realizamos el siguiente procedimiento: si es par tomamos su raíz cuadrada, y si es impar la raíz cuadrada de su cubo. Posteriormente tomamos la parte entera del resultado, en cualquiera de sus dos casos y repetimos el procedimiento.

Al igual que en la Conjetura de Collatz (de la cual hablamos en la publicación del 20 de Noviembre de 2016):

Conjetura:
 Las sucesiones que se forman se estabilizan, terminan en uno.

Definimos la función que realiza el proceso de los Números Malabaristas :

mal[n_] := 
 Piecewise[{{Floor[Sqrt[n]], EvenQ[n]}, {Floor[n Sqrt[n]], OddQ[n]}}]

snm[n_Integer] := Length[NestWhileList[mal, n, # != 1 &]] - 1

Calculamos y graficamos el número de iteraciones necesarias para que la sucesión se estabilice en 1.

ListPlot@Table[snm[n], {n, 100000}]

Vemos que hasta los primeros 100000 enteros positivos no se necesita de más de 40 iteraciones.

Ejercicio

1. Determine los números entre los primeros 100000 enteros que requieren el máximo de iteraciones. Cuántas iteraciones son?

2. Será que el número de iteraciones va decreciendo conforme crecen los números? Pues en la gráfica esto pareciera, después de un poco más de 20000 no se necesitan tantas iteraciones, lo mismo después de un poco menos de 40000 e igual después de un poco menos de 80000.


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