Números Omirps y Primos Capicúas

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Son los números primos que al tomar sus cifras en orden contrario también son primos pero diferentes a él, no son capicúa. De ahí su nombre : primo escrito al revés.

Calculemos los primeros números Omirps entre los primeros mil números primos:

omirps = {};
Do[ppp = FromDigits@Reverse[IntegerDigits[Prime[n]]]; 
 If[PrimeQ[ppp] && ppp != Prime[n], AppendTo[omirps, Prime[n]]], {n, 
  1000}]
omirps

{13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, 167, 179, 199, 311, 337, 347, 359, 389, 701, 709, 733, 739, 743, 751, 761, 769, 907, 937, 941, 953, 967, 971, 983, 991, 1009, 1021, 1031, 1033, 1061, 1069, 1091, 1097, 1103, 1109, 1151, 1153, 1181, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1279, 1283, 1301, 1321, 1381, 1399, 1409, 1429, 1439, 1453, 1471, 1487, 1499, 1511, 1523, 1559, 1583, 1597, 1601, 1619, 1657, 1669, 1723, 1733, 1741, 1753, 1789, 1811, 1831, 1847, 1867, 1879, 1901, 1913, 1933, 1949, 1979, 3011, 3019, 3023, 3049, 3067, 3083, 3089, 3109, 3121, 3163, 3169, 3191, 3203, 3221, 3251, 3257, 3271, 3299, 3301, 3319, 3343, 3347, 3359, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3433, 3463, 3467, 3469, 3511, 3527, 3541, 3571, 3583, 3613, 3643, 3697, 3719, 3733, 3767, 3803, 3821, 3851, 3853, 3889, 3911, 3917, 3929, 7027, 7043, 7057, 7121, 7177, 7187, 7193, 7207, 7219, 7229, 7253, 7297, 7321, 7349, 7433, 7457, 7459, 7481, 7507, 7523, 7529, 7547, 7561, 7577, 7589, 7603, 7643, 7649, 7673, 7681, 7687, 7699, 7717, 7757, 7817, 7841, 7867, 7879, 7901}

Conjetura

Existen infinitos Números Omirps.

Primos Capicúas

En los números Omirps se excluye la posibilidad que el número sea capicúa, es decir: que al invertir el orden de sus cifras se obtenga el mismo número.

Ahora, vamos a determinar los números primos capicúas:

pcap = {};
Do[If[FromDigits@Reverse[IntegerDigits[Prime[n]]] == Prime[n], 
  AppendTo[pcap, Prime[n]]], {n, 100000}]
pcap

{2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, 18481, 19391, 19891, 19991, 30103, 30203, 30403, 30703, 30803, 31013, 31513, 32323, 32423, 33533, 34543, 34843, 35053, 35153, 35353, 35753, 36263, 36563, 37273, 37573, 38083, 38183, 38783, 39293, 70207, 70507, 70607, 71317, 71917, 72227, 72727, 73037, 73237, 73637, 74047, 74747, 75557, 76367, 76667, 77377, 77477, 77977, 78487, 78787, 78887, 79397, 79697, 79997, 90709, 91019, 93139, 93239, 93739, 94049, 94349, 94649, 94849, 94949, 95959, 96269, 96469, 96769, 97379, 97579, 97879, 98389, 98689, 1003001, 1008001, 1022201, 1028201, 1035301, 1043401, 1055501, 1062601, 1065601, 1074701, 1082801, 1085801, 1092901, 1093901, 1114111, 1117111, 1120211, 1123211, 1126211, 1129211, 1134311, 1145411, 1150511, 1153511, 1160611, 1163611, 1175711, 1177711, 1178711, 1180811, 1183811, 1186811, 1190911, 1193911, 1196911, 1201021, 1208021, 1212121, 1215121, 1218121, 1221221, 1235321, 1242421, 1243421, 1245421, 1250521, 1253521, 1257521, 1262621, 1268621, 1273721, 1276721, 1278721, 1280821, 1281821, 1286821, 1287821}

Observamos que de dos cifras sólo existe el 11, del 929 pasa al 10301, del 98689 pasa al 1003001. No existen números primos capicúas de 4 y 6 cifras, esto se puede generalizar así:

A excepción del número 11 no existen números Primos Capicúas de un número par de cifras.

Este hecho se demuestra utilizando congruencias.

El siguiente número es Primo Capicúa y tiene 99 cifras:

7272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272
72727272727272727272727272727

Si repetimos la secuencia 1808010808 un número de 1560 veces y al final añadimos un 1, obtenemos un número Primo Capicúa que tiene 1560*10+1=15601 cifras.

Otro Primo Capicúa es conocido como el Primo de Belfegor, un demonio que seduce ofreciendo inventos ingeniosos que proporcionan riqueza. Esta formado por dos unos en los extremos y adentro entre dos secuencias de 13 ceros el "diabólico" número de 666.

1000000000000066600000000000001

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