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Pronunciación de Nombres de Matemáticos

viernes, 10 de febrero de 2017

Persistencia Multiplicativa


Se realiza el proceso de multiplicar los dígitos de un entero positivo, repitiendo hasta obtener un número de un único dígito. El número de veces que se repite el proceso se conoce como la persistencia multiplicativa y el número de un dígito que se obtiene al final es la raíz digital multiplicativa.

La persistencia multiplicativa de los números del 1 al 9 es claramente 0, y su raíz digital multiplicativa es el mismo número.

Por ejemplo, de 325 es:

3×2×5 = 30 y 3×0 = 0,

luego persistencia multiplicativa es 2 y la raíz digital multiplicativa es 0.

Definimos pm[n] que multiplica los dígitos del número, y rdm[n] que nos da dos datos:

{persistencia multiplicativa, raíz digital multiplicativa }

pm[n_] := Times @@ IntegerDigits[n]
rdm[n_] := 
 Module[{aa = 0}, 
  aa = NestWhileList[pm, n, # > 9 &]; {Length[aa] - 1, Last[aa]}]

Graficamos la persistencia multiplicativa del primer millón de números enteros positivos:

ListPlot@Table[{n, rdm[n][[1]]}, {n, 1000000}]

















Ninguno tiene una persistencia multiplicativa mayor que 7.

Ahora, graficamos la raíz digital multiplicativa del primer millón de enteros positivos, la mayoría tiende a un número par.

ListPlot@Table[{n, rdm[n][[2]]}, {n, 1000000}]

















dat = Table[rdm[n], {n, 1000000}];

Contemos del primer millón de enteros positivos sus persistencias multiplicativas:

Tally[Transpose[dat][[1]]]

{{0, 9}, {1, 402540}, {2, 375227}, {3, 123860}, {4, 66772}, {5, 24654}, {6, 4488}, {7, 2450}}

La mayoría tiene persistencia multiplicativa de 1 y 2 :

BarChart[Apply[Labeled, 
  Reverse[{{0, 9}, {1, 402540}, {2, 375227}, {3, 123860}, {4, 
     66772}, {5, 24654}, {6, 4488}, {7, 2450}}, 2], {1}]]
















Contemos la raíz digital multiplicativa del primer millón de enteros positivos :

Tally[Transpose[dat][[2]]]

{{1, 6}, {2, 16673}, {3, 21}, {4, 2345}, {5, 2073}, {6, 43538}, {7, 
  21}, {8, 32658}, {9, 56}, {0, 902609}}

La gran mayoría tiene a cero como su raíz digital multiplicativa y predominan los números pares:

BarChart[Apply[Labeled, 
  Reverse[{{1, 6}, {2, 16673}, {3, 21}, {4, 2345}, {5, 2073}, {6, 
     43538}, {7, 21}, {8, 32658}, {9, 56}, {0, 902609}}, 2], {1}]]
















Números más grandes

De los números menores a 10^233 el de mayor persistencia multiplicativa  sin 1 en su expansión decimal es 77777733332222222222222222222 con 11 y raíz digital multiplicativa 0.

rdm[77777733332222222222222222222]

{11,0}

Ejercicio

El matemático húngaro Paul Erdös propuso una modificación del problema no teniendo presente los dígitos ceros del número al realizar el proceso multiplicativo de sus dígitos.

Cuál sería el código para calcular su persistencia multiplicativa?

A qué conclusiones se puede llegar?


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