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martes, 21 de marzo de 2017

Números Prácticos


Dados a conocer por A.K. Srinivasan en 1948, son los números enteros positivos tal que todos los enteros positivos menores que él se pueden escribir como sumas de sus distintos divisores. Por ejemplo 6 es un Número Práctico, pues:

Divisors[6]
{1, 2, 3, 6}

1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = 1 + 3
5 = 2 + 3

Calculando los Números Prácticos menores que 90 tenemos que:

practicos = {};
Do[If[Complement[Range[n - 1], 
    Total /@ Subsets[Most[Divisors[n]]]] == {}, 
  AppendTo[practicos, n]], {n, 90}]
practicos

{1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90}

El único Número Práctico impar es 1, pues un número impar mayor o igual a 3, no podría obtener el 2 como suma de sus divisores: pues de 1 salta sin tomar al 2 como divisor.

El matemático del Siglo XIII Leonardo de Pisa conocido como  Fibonacci usó los Números Prácticos en su Liber Abaci (1202) al tratar el problema de escribir números racionales en fracción egipcia, fracciones que tienen a 1 como numerador.

Aunque los Números Prácticos son altamente compuestos, tienen propiedades de densidad similares a las de los números primos.Y como en el caso de los números primos, el primero tiene una paridad diferente de todo el resto.

Conjetura

Si tomamos la lista ordenada de los primeros Números Prácticos y realizamos la resta entre los consecutivos considerando el valor absoluto, obtenemos una lista con un elemento menos, continuando así consecutivamente obtenemos que el primer elemento de cada una de las listas que se han obtenido es un uno. Está se conoce como la Conjetura de los Números Prácticos, es muy parecida a la Conjetura de Gilbreath de la cual se publicó en Diciembre 26 de 2016 en este Blog.

En Mathematica

acu = {practicos};
res[p_] := 
 Table[Abs[acu[[p, k + 1]] - acu[[p, k]]], {k, Length[acu[[p]]] - 1}]
Do[AppendTo[acu, res[p]], {p, Length[practicos] - 1}]
TableForm[PadLeft[acu, {Length[practicos], Length[practicos]}, " "]]



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