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Distancia media de dos puntos en un cuadrado unitario

martes, 30 de mayo de 2017

Frase Célebre de Bertrand Russell

Las matemáticas poseen no sólo la verdad, 
sino cierta belleza suprema. 
Una belleza fría y austera, 
como la de una escultura.


Bertrand Russell

viernes, 26 de mayo de 2017

El Triángulo de Pascal


Se debe al filósofo, matemático y físico francés Blaise Pascal (1623-1662), por afición a los juegos de azar estudia la teoría de la probabilidad teniendo intercambio de comunicaciones sobre el tema con Pierre de Fermat, en 1654 publica sobre el Triángulo de Pascal (que llamó triángulo aritmético) y los coeficientes binomiales. Cabe destacar que aquí introdujo la demostración por el principio de inducción. También en 1642 inventó la Rueda de Pascal considerada como la primera calculadora.

El problema que le ocupaba en probabilidad era la cantidad de posibles repartos en una mano de cartas: si se tienen cuatro cartas y voy a tomar un subconjunto, sin importar el orden, ¿Cuántos subconjuntos diferentes puedo obtener?

De cero elementos, solo uno el conjunto vacío; de un elemento, cuatro subconjuntos, cada uno con una carta; de tres elementos, cuatro subconjuntos, es análogo al anterior pues al tomar uno es como dejar un subconjunto de tres; de cuatro solo puedo tomar uno, todo el conjunto. El problema es de dos cartas, sea el conjunto:

cartas = {a, b, c, d};

Subsets[cartas, {2}]
{{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}}

se obtienen seis subconjuntos,verifiquemos los anteriores repartos:

Subsets[cartas, {0}]
{{}}

Subsets[cartas, {1}]
{{a}, {b}, {c}, {d}}

Subsets[cartas, {3}]
{{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}}

Subsets[cartas, {4}]
{{a, b, c, d}}

Pascal construye un triángulo donde la fila 0 tiene un uno, la fila 1 tiene dos unos, la fila 2 tiene tres elementos dos unos en los extremos y el de en medio es dos que corresponde a la suma de los dos unos de la fila 1 que están encima de él, y así sucesivamente.

Por tanto, definimos la función tp[n,k] donde n es el número de la fila y k toma valores desde cero hasta n es la posición del elemento en la fila. Los dos extremos son unos, y los demás elementos son la suma de los elementos encima de él en la fila anterior.

tp[n_, 0] := 1; tp[n_, n_] = 1;
tp[n_, k_] := tp[n - 1, k - 1] + tp[n - 1, k]

Manipulate[
 Pane[Text@
   TraditionalForm[
    Column[{Grid[{{Column[
          Table[Row[Table[tp[i, j], {j, 0, i}], "   "], {i, 0, n}],
          Center]}}]}]], {550, 200},
  Alignment -> {Center, Top}], {{n, 7}, 0, 8, 1}]















Manipulate[
 Pane[Text@
   TraditionalForm[
    Column[{Grid[{{Column[
          Table[Row[Table[tp[i, j], {j, 0, i}], "   "], {i, 0, n}],
          Center], "          ",
         Column[Table[Row[Table[Binomial[i,j], {j, 0, i}]], {i, 0, n}], Center]}}]}]], {720, 450},
   Alignment -> {Center, Top}], {{n, 7}, 0, 8, 1}]
















Definimos el Binomial de n con k,  por:





en Mathematica Binomial[n, k]

Binomial[4, 2]
6

Un uso clásico del triángulo de Pascal es para determinar los coeficientes de la expansión de la expresión (a+b)^n, por ejemplo:




es fácil observar que la suma de los exponentes siempre es 4, el exponente de las a va decreciendo y el de las b creciendo y se obtienen 4 + 1 términos. Pero ¿Qué números van dentro de los paréntesis? La respuesta es sencilla como estamos elevando a la cuarta potencia tomamos los elementos de la cuarta fila del Triángulo de Pascal que son {1,4,6,4,1} y obtenemos:




Así,




esto se conoce como el Binomio de Newton, que en general se enuncia como:






Manipulate[
 Pane[Text@
   TraditionalForm[
    Column[{Grid[{{Column[
          Table[Row[Table[tp[i, j], {j, 0, i}], "   "], {i, 0, n}],
          Center],
         Column[Table[Row[Table[Binomial[i,j], {j, 0, i}]], {i, 0, n}], Center]}}], "",
      With[{n = n},
       HoldForm[(a + b)^n] == Expand[(a + b)^n]]}]], {550, 425},
  Alignment -> {Center, Top}], {{n, 4}, 0, 8, 1}]



















Propiedades del Triángulo de Pascal

1. Es simétrico con respecto a vertical que se traza con el uno superior.





2. Después de los unos en cada lado sigue una diagonal con los enteros positivos.

3. Si sumamos todos todos los elementos de cada fila obtenemos 2 elevado al número de la fila:







en general,





2ⁿ

4. Por su construcción se obtiene que :




Los manipulates fueron adaptados de
http : // demonstrations.wolfram.com/PascalsTriangleAndTheBinomialTheorem/


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viernes, 19 de mayo de 2017

Conjeturas Anexas de Goldbach



Presentamos a continuación cinco Conjeturas de anexas a la Conjetura de Goldbach (de la que hablamos en la publicación del 2 de Octubre de 2016), probar ellas cinco probaría la Conjetura de Goldbach, pero probar la Conjetura de Goldbach no las implica a ellas. Se dividen los números pares en cinco grupos, los terminados en 2, en 4, en 6, en 8 y en 0.

1. "Todos los números enteros positivos congruentes con dos módulo diez mayores a doce, se pueden escribir como la suma de dos primos, tales que uno sea congruente con tres módulo diez y el otro congruente con nueve módulo diez".

2. "Todos los números enteros positivos congruentes con cuatro módulo diez distintos de cuatro, se pueden escribir como la suma de dos primos, tales que uno sea congruente con uno módulo diez y el otro congruente con tres módulo diez".

3. "Todos los números enteros positivos congruentes con seis módulo diez, se pueden escribir como la suma de dos números primos, tales que ambos sean congruentes con tres módulo diez".

4. "Todos los números enteros positivos congruentes con ocho módulo diez distintos a ocho, se pueden escribir como la suma de dos primos, tales que uno sea congruente con uno módulo diez y el otro congruente con siete módulo diez".

5. "Todo múltiplo positivo de diez, se puede escribir como la suma de dos primos, tales que uno es congruente con tres módulo diez y el otro es congruente con siete módulo diez".

En Mathematica

Vamos a realizar la comprobación para valores menores a 8000, aquí mostramos sólo las dos primeras conjeturas, las otras tres y las salidas se encuentran en el Notebook anexo :

1. "Todos los números enteros positivos congruentes con dos módulo diez mayores a doce, se pueden escribir como la suma de dos primos, tales que uno sea congruente con tres módulo diez y el otro congruente con nueve módulo diez".

numero = 1000;
golde = {};
k = 2;
While[10 k < Prime[numero], 
 Do[If[And[10 k + 2 == Prime[n] + Prime[m], 
    Or[Mod[Prime[n], 10] == 3, Mod[Prime[n], 10] == 9]], 
   AppendTo[golde, {10 k + 2, Prime[n], Prime[m]}]; k++], {n, 2, 
   numero}, {m, n, numero}]]
golde

OMITIMOS LA SALIDA POR SU EXTENSIÓN

Complement[Table[k, {k, 22, Prime[1000], 10}], Transpose[golde][[1]]]
{}

2. "Todos los números enteros positivos congruentes con cuatro módulo diez distintos de cuatro, se pueden escribir como la suma de dos primos, tales que uno sea congruente con uno módulo diez y el otro congruente con tres módulo diez".

numero = 1000;
golde2 = {};
k = 1;
While[10 k < Prime[numero], 
 Do[If[And[10 k + 4 == Prime[n] + Prime[m], 
    Or[Mod[Prime[n], 10] == 3, Mod[Prime[n], 10] == 1]], 
   AppendTo[golde2, {10 k + 4, Prime[n], Prime[m]}]; k++], {n, 2, 
   numero}, {m, n, numero}]]
golde2

OMITIMOS LA SALIDA POR SU EXTENSIÓN

Complement[Table[k, {k, 14, Prime[1000], 10}], Transpose[golde2][[1]]]
{}

Al dar vacío todos los conjuntos se tiene que se cumplen hasta 8000 las cinco conjeturas.


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viernes, 12 de mayo de 2017

Números Felices y Números Tristes


Dado un entero positivo se suma el cuadrado de sus dígitos y al número resultante se le repite el proceso hasta: llegar al número 1 (donde el número inicial es un Número Feliz) o se forma un ciclo que no incluye al número 1 (donde el número inicial se llama Triste).

Definimos la función ft[ ] que realiza la operación de sumar los cuadrados de sus dígitos.

ft[n_] := Total@Power[IntegerDigits[n], 2]

Observo que los números que no convergen a 1 forman el ciclo {4,16,37,58,145,42,20,4,...}, en el primer millón de enteros positivos no he encontrado números que se comporten diferente, por tanto decimos que tristes son los que incluyen al 4 en su recorrido, esta afirmación se ha probado que es cierta.

Clasificamos los 1000 primeros enteros positivos en felices o tristes :

feliz = {};
triste = {};
Do[Switch[NestWhile[ft, n, # != 1 & || # != 4 &, 1, 100], 1, 
  AppendTo[feliz, n], 4, AppendTo[triste, n]], {n, 1000}]
feliz
Length[feliz]
Length[triste]

{1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000}

143
857

Existen entre los primeros mil números enteros positivos: 143 felices y el resto 857 tristes.

Propiedades

1. Para cualquier número natural n , existen n números felices consecutivos: Para n=2, se tiene el primer par 31,32; para n=3, se tiene la primera terna 1880, 1881,1882; para n=4, se tiene la primera cuarteta 7839,7840,7841,7842.

2. Al agregar o quitar ceros en cualquier posición a un número feliz sigue siendo feliz y a un número triste sigue siendo triste, pues no se altera la suma de sus cuadrados.

3. Por lo anterior, los Números Felices son infinitos al igual que los Números Tristes.

4. Para un número suficientemente grande de números enteros positivos, la densidad de los Números Felices varía entre 11.38% y 18.577%.

Ejercicio

Defina la operación como la suma de sus cubos, determine su comportamiento. Se podrían definir igual los felices y los tristes?


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martes, 9 de mayo de 2017

sábado, 6 de mayo de 2017

Sucesiones



Una sucesión es una función que tiene como dominio los números naturales, bien sea comenzando en cero o en uno. En la mayoría de los casos lo interesante de una sucesión es ver su convergencia, pero también es importante dados los primeros términos o una fórmula para generar términos a partir de los anteriores, determinar una fórmula para el término enésimo.

Dada una fórmula para el término enésimo

Si conocemos la fórmula del término enésimo (el que corresponde al valor n) {a(n)} podemos determinar sus primeros términos mediante el comando Table[ ]

Table[(-1)^n/n, {n, 20}]

{-1, 1/2, -1/3, 1/4, -1/5, 1/6, -1/7, 1/8, -1/9, 1/10, -1/11, 1/12, -1/13, 1/14, -1/15, 1/16, -1/17, 1/18, -1/19, 1/20}

Graficandolos

ListPlot[Table[(-1)^n/n, {n, 20}]]



Unirlos por medio de segmentos

ListLinePlot[Table[(-1)^n/n, {n, 20}]]


Calcular su convergencia

Limit[(-1)^n/n, n -> Infinity]
0

Conociendo sus primeros valores

También, dados los primeros términos podemos encontrar la fórmula del término enésimo que los genera

s = {1, 3, 6, 10, 15, 21};
FindSequenceFunction[s, n]

1/2 n(n+1)

Definida por recurrencia

Si conocemos los primeros valores y una fórmula que genera valores basada en los valores anteriores (por recurrencia), por medio del comando RSolve[ ] podemos determinar la fórmula del término enésimo. Por ejemplo:

s (0) = s (1) = 1 y s (n + 1) = s (n) + s (n - 1) para n >= 1

Clear[s,n]
RSolve[{s[n + 2] == s[n + 1] + s[n], s[0] == 0, s[1] == 1}, s[n], n]

{{s[n] -> Fibonacci[n]}}


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martes, 2 de mayo de 2017

Frase Célebre de Napoleón Bonaparte

El avance y perfeccionamiento de las matemáticas está estrechamente relacionado con la prosperidad de la nación.

Napoleón Bonaparte