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viernes, 2 de junio de 2017

Números de Harshad


Harshad es una palabra que proviene del sánscrito que significa que da alegría, es decir los Números de Harshad son los Números que dan Alegría.

Estos números se le deben a D. R. Kaprekar matemático de la India de quien ya discutimos sobre su constante en dos artículos (Publicados 12 y 20 de Septiembre de 2016), también se conocen como los Números de Niven ya que Ivan M. Niven dio una conferencia sobre ellos en 1977.

Los Números de Harshad (o Números de Niven) son los enteros positivos tales que son divisibles por la suma de sus dígitos, esto también en cualquier base, si el número es divisible por sus dígitos en base n se dice que es un Número n-Harshad.

En Mathematica

Forma 1

harshad = {};
Do[If[Mod[n, Total@IntegerDigits[n]] == 0, AppendTo[harshad, n]], {n,100}]
harshad

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100}

Forma 2

Select[Range[100], Mod[#, Total@IntegerDigits[#]] == 0 &]

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100}

En Base 2

Select[Range[100], Mod[#, Total@IntegerDigits[#, 2]] == 0 &]

{1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 21, 24, 32, 34, 36, 40, 42, 48, 55, 60, 64, 66, 68, 69, 72, 80, 81, 84, 92, 96}

Propiedades

1. Por el conocido test de divisibilidad por 9 se podría pensar que todo número múltiplo de 9 es un Número de Harshad, pero no pues en el test de divisibilidad por 9 se mira que la suma de los dígitos sean divisibles por 9, no que el número sea divisible por la suma de los dígitos.

2. Para que un número primo sea de Harshad es necesario que el número primo sea menor que la base en la que se está trabajando, si es mayor no puede ser de Harshad.

3. Se conjeturo que todos los números factoriales n! eran Números de Harshad pero se encontró que 432! no lo es.

4. También se trabaja la sucesión del más pequeño k tal que k*n sea un Número de Harshad, y la sucesión del más pequeño k tal que k*n no sea un Número de Harshad.

Ejercicio

Determine el código necesario para calcular las sucesiones del numeral 4.


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