Números de Smith

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Se deben al matemático Albert Wilanski que los dio a conocer en 1982, pero su nombre se debe a que él observó que el número telefónico (4937775) de su cuñado Harold Smith cumplía con estas características.

Los Números de Smith son los números enteros positivos compuestos, no primos, tales que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de sus factores primos (si se tienen factores primos repetidos se suman tantas veces como aparezcan).

Vamos a utilizar el comando de Mathematica FactorInteger[ ] que nos da la lista de los factores primos cada uno acompañado de su multiplicidad.

Por ejemplo 22 es un Número de Smith pues:

FactorInteger[22]
{{2, 1}, {11, 1}}

Así, 22 = 2*11, y se cumple que :

suma de las cifras: 2+2=4 y suma de las cifras de sus factores primos: 2+1+1=4.

Para realizar una búsqueda de Números de Smith, primero definimos la función suma[n,m] que suma las cifras de cada factor en la descomposición en factores teniendo presente la multiplicidad,

suma[n_, m_] := m Total@IntegerDigits[n]

y posteriormente la función total[n] que nos da la suma de todos los factores primos de n teniendo presente la multiplicidad,

total[n_] := Total[suma @@@ FactorInteger[n]]

Por ejemplo: de 1183

FactorInteger[1183]
{{7, 1}, {13, 2}}

1183 = 7 ¹ × 13 ²

total[1183] = 1 (7) + 2 (1 + 3) = 15

veamos

total[13^2 7]
15

Comprobemos que el número telefónico de Harold Smith (4937775) es efectivamente un Número de Smith :

total[4937775]
42

Total@IntegerDigits[4937775]
42

luego, sí es un Número de Smith.

Realicemos, ahora sí,  la búsqueda de Números de Smith entre los primeros 1000 enteros positivos:

smith = {};
Do[If[Not[PrimeQ[n]] && total[n] == Total[IntegerDigits[n]], 
  AppendTo[smith, n]], {n, 1000}]
smith

{1, 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985}

Primos Repunit

Son los números primos tales que todos sus dígitos son unos. Determinemos una lista de los primeros Primos Repunit:

repunit = {};
Do[If[PrimeQ[FromDigits@Table[1, {n}]], 
  AppendTo[repunit, FromDigits@Table[1, {n}]]], {n, 200}]
repunit
{11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111}

Existen infinitos números Primos Repunit.

En 1983 los matemáticos Oltikar y Wayland encontraron que si p es un Primo Repunit, entonces el número 1540*p es un Número de Smith. Veamos:

total[1540 repunit[[1]]]
20

Total@IntegerDigits[1540 repunit[[1]]]
20

total[1540 repunit[[2]]]
37

Total@IntegerDigits[1540 repunit[[2]]]
37

total[1540 repunit[[3]]]
41

Total@IntegerDigits[1540 repunit[[3]]]
41

Esto también ocurre para los números: 1540, 1720, 2170, 2440, 5590 y 6040. Busquemos si existe alguna combinación que no se cumpla:

cand = {1540, 1720, 2170, 2440, 5590, 6040};
nocumple = {};
Do[If[total[cand[[n]]*repunit[[k]]] != 
   Total@IntegerDigits[cand[[n]]*repunit[[k]]], 
  AppendTo[nocumple, {cand[[n]], repunit[[k]]}]], {n, 1, 6}, {k, 1, 3}]
nocumple

{{16, 11}, {16, 1111111111111111111}, {16, 11111111111111111111111}}

El mayor Número de Smith que se conoces es :

donde R₁₀₃₁ es el Repunit con 1031 unos.

También se conocen Números de Smith capicúas como 12345554321; Números de Smith hermanos, Números de Smith consecutivos, como 728 y 729 y también 67728 y 67729; tripletas de Smith: 225951, 225952 y 225953.

Números de Hoax

Se definen igual que los Números de Smith con la diferencia que no se tiene presente la multiplicidad de los factores primos repetidos.

El enésimo Conjunto de Mónica M (n)

Un número compuesto pertenece a M (n), si n divide a la diferencia entre la suma de sus dígitos y la suma de sus factores (con multiplicidad).

El enésimo Conjunto de Suzanne S (n)

Un número compuesto pertenece a S (n), si n divide la suma de sus dígitos y a la suma de sus factores (con multiplicidad).

Ejercicio

1. Determinar los Números de Hoax entre los primeros mil enteros positivos.

2. Determinar M(2), M(3) y M(5).

3. Determinar S(2), S(3) y S(5).

4. Qué relación existe entre M(n) y S(n)?


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