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martes, 22 de agosto de 2017

Conjetura de Singmaster



Como no podía faltar el Triángulo de Pascal también tiene su conjetura asociada, que se debe al matemático estadounidense David Singmaster.

El número de veces que aparece un número diferente de 1 en el triángulo de Pascal está acotado por un número M

Manipulate[
 Pane[Text@
   TraditionalForm[
    Column[{Grid[{{Column[
          Table[Row[Table[Binomial[i, j], {j, 0, i}], "   "], {i, 0, 
            n}], Center]}}]}]], {550, 200}, 
  Alignment -> {Center, Top}], {{n, 7}, 0, 8, 1}]




Es decir ningún número diferente de uno aparece infinitas veces en el Triángulo de Pascal, pero esto es obvio pues ningún número aparece más allá de su fila. Pero lo importante que afirma es que la cota para el número de apariciones no depende del número, hay números que aparecen pocas veces y otros que aparecen un número mayor de veces, sobre todo para los números grandes.

Así, para determinar el número de veces que aparece un número entero positivo m, solo tenemos que construir m filas del Triángulo de Pascal y contar sus apariciones:

sing[m_] := Count[Flatten[Table[tp[n, k], {n, 0, m}, {k, 0, n}]], m]

Si deseamos contar las apariciones de los enteros entre 2 y m, es más eficiente calcular primero el Triángulo de Pascal y luego contar las apariciones de cada número:

singmaster[m_] := 
 Module[{sin}, 
  sin = Flatten[Table[Binomial[n, k], {n, 0, m}, {k, 0, n}]]; 
  ParallelTable[Tooltip[{p, Count[sin, p]}], {p, 2, m, 1}]]

singmaster[2000]















graficando:

ListPlot[%]



Vemos que la gran mayoría aparecen un número par de veces, esto se debe a la simetría del Triángulo de Pascal, los que aparecen un número impar de veces es porque están sobre el eje de simetría. De los números del 2 al 2000 los que más aparecen son 120, 210 y 1540 que lo hacen seis veces.

El manipulate fue adaptado de
http : // demonstrations.wolfram.com/PascalsTriangleAndTheBinomialTheorem/



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