Espiral de Theodorus, Einstein o Pitagórica

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Es una espiral compuesta por triángulos rectángulos contiguos, se inicia con un triángulo rectángulo con catetos de una unidad, su hipotenusa se toma como un cateto del siguiente triángulo y el otro cateto es una unidad y así sucesivamente. Por tanto, las hipotenusas son del primer triángulo raíz de dos, del segundo raíz de tres y del triángulo enésimo raíz de (n+1).

El ángulo

y el ángulo

Así en coordenadas polares tenemos que :

por tanto las coordenadas de Pn para n>0 son:

En Mathematica


angulo := Sum[ArcTan[1/Sqrt[i]], {i, n}]

cart[n_] := {radio[[n, 2]] Cos[radio[[n, 1]]], 
  radio[[n, 2]] Sin[radio[[n, 1]]]}

cart1[n_] := {Sqrt[n + 1] Cos[radio[[n, 1]] + ArcTan[1/Sqrt[n]]/2], 
  Sqrt[n + 1] Sin[radio[[n, 1]] + ArcTan[1/Sqrt[n]]/2]}

ne[n_] := HoldForm[Sqrt[n]]

radio = Prepend[Table[{angulo, Sqrt[n + 1]}, {n, 1, 20}], {0, 1}];

theodorus[k_] := 
 Module[{}, 
  radio = Prepend[Table[{angulo, Sqrt[n + 1]}, {n, 1, k}], {0, 1}]; 
  Show[Graphics[{Red, Line[Table[{{0, 0}, cart[n]}, {n, k + 1}]]}], 
   ListPolarPlot[radio, Joined -> True], 
   Graphics[Table[Text[1, cart1[i]], {i, k}]], 
   Graphics[Table[Text[ne[i], 2 cart[i]/3], {i, k + 1}]]]]


theodorus[16]

theodorus[35]

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