Entrada destacada

Distancia media de dos puntos en un cuadrado unitario

viernes, 29 de septiembre de 2017

martes, 26 de septiembre de 2017

Propiedad de los enteros a la quinta potencia


Al elevar a la quinta potencia un número entero las unidades del resultado coinciden con las unidades del entero inicial

La diferencia al elevar a la quinta potencia un entero positivo y su opuesto es el signo, por tanto realizaremos el estudio sólo para los enteros positivos, con cero es obvio que se cumple el resultado.

En búsqueda de excepciones, realizamos una comprobación entre el primer millón de enteros positivos:

aa = {};
Do[If[Last@IntegerDigits[n^5] != Last@IntegerDigits[n], 
  AppendTo[aa, n]], {n, 1000000}]
aa

{}

No encontramos ninguna excepción.

Demostración

Un número entero de n cifras lo podemos representar como




Al escribir su expansión decimal tenemos:








Al elevar este número A a la quinta potencia tenemos :

Expand[(10 X + a₀)^5]




que corresponde:





Por tanto, el dígito de las unidades de A⁵  será el mismo dígito de las unidades de a₀⁵, y para estos dígitos se tiene que:

TableForm[Table[{n^5, n}, {n, 0, 9}], TableAlignments -> Right]


Así, vemos que se cumple la propiedad que el dígito en las unidades al elevar a la quinta potencia es el mismo del dígito inicial.

Por tanto, se cumple esta misma propiedad para todos los enteros.


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martes, 19 de septiembre de 2017

Sucesión de Recamán



Es una sucesión recurrente que se define por : a(1)=1, a(n)=a(n-1)-n si es positivo y no aparece ya en la lista, y, a(n)=a(n-1)+n en caso contrario.



para la primera alternativa hay dos condiciones.

rec = {1};
Do[If[rec[[n - 1]] - n > 0 && FreeQ[rec, rec[[n - 1]] - n], 
  AppendTo[rec, rec[[n - 1]] - n], 
  AppendTo[rec, rec[[n - 1]] + n]], {n, 2, 10}]
res

{1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11}

Para generar el término enésimo

recaman[m_] := 
 Module[{rec = {1}}, 
  Do[If[rec[[n - 1]] - n > 0 && FreeQ[rec, rec[[n - 1]] - n], 
    AppendTo[rec, rec[[n - 1]] - n], 
    AppendTo[rec, rec[[n - 1]] + n]], {n, 2, m}]; rec[[m]]]

recaman[12]

10

Table[recaman[m], {m, 20}]

{1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, 42}

Vemos que esta sucesión es positiva pero no creciente.



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viernes, 15 de septiembre de 2017

Frase Célebre de Isaac Asimov

Negar un hecho es lo más fácil del mundo. 
Mucha gente lo hace, 
pero el hecho sigue siendo un hecho.

Isaac Asimov

martes, 12 de septiembre de 2017

Corazón 3D




Para el día del amor y la amistad (de modo Mathematica)

corazon = 
  Table[ContourPlot3D[(-1 + x^2 + 9/4 y^2 + z^2)^3 == (x^2 + 
        9/80 y^2) z^3, {x, -1.5, 1.5}, {y, -1.5, 1.5}, {z, -1.5, 1.5},
     Boxed -> False, Axes -> False, 
    ViewPoint -> {2 Cos[s Pi], 2 Sin[s Pi], 0}], {s, 0, 2, 0.05}];

para convertirlo en gif

Export[NotebookDirectory[] <> "corazon1.gif", corazon, 
 "DisplayDurations" -> 1/12]

viernes, 8 de septiembre de 2017

martes, 5 de septiembre de 2017

Sucesiones Recurrentes



Es la sucesión donde el valor actual depende de valores anteriores de la sucesión, es indispensable siempre inicializarla con los primeros términos. Si depende del valor anterior se dice que es de primer orden y se necesita conocer únicamente su primer valor, si depende de los dos anteriores se dice de segundo orden y es necesario conocer sus dos primeros valores, y así sucesivamente.

Dada una sucesión de segundo orden con condiciones iniciales

s (n) = 2 s (n - 1) - 3 s (n - 2)*s (n - 1)    s (1) = 2, s (2) = 1

Podemos encontrar sus primeros términos utilizando el siguiente código:

Generamos primero la función que corresponde al término enésimo:

Clear[s]
RecurrenceTable[{s[n] == 2 s[n - 1] - 3 s[n - 2]*s[n - 1], s[1] == 2, 
  s[2] == 1}, s, {n, 1, 10}]

{2, 1, -4, 4, 56, -560, 92960, 156358720, -43605007116160,
20454069207610992513280}

Un tipo especial de sucesiones recurrentes son las lineales que se caracterizan por que solo existen sumas y restas y productos por constantes entre los términos de la sucesión y sus términos anteriores. Para ellos Mathematica incorpora una función RSolveValue que permite encontrar el valor del término enésimo. Por ejemplo para la sucesión:

s (n) = 3 s (n - 1) - 2 s (n - 2) con   s (1) = 1, s (2) = 4

tenemos que :

RSolveValue[{s[n] == 3 s[n - 1] - 2 s[n - 2], s[1] == 1, s[2] == 4}, s[n], n]

1/2 (-4 + 3×2ⁿ)

y sus primeros 20 términos son :

Table[1/2 (-4 + 3× 2ⁿ), {n, 1, 20}]

{1, 4, 10, 22, 46, 94, 190, 382, 766, 1534, 3070, 6142, 12286, 24574, 49150, 98302, 196606, 393214, 786430, 1572862}

En algunos casos se puede realizar el proceso inverso, es decir tenemos los primeros términos y calcular el término enésimo:

FindSequenceFunction[{1, 4, 10, 22, 46, 94, 190, 382, 766, 1534, 3070,
   6142, 12286, 24574, 49150, 98302, 196606, 393214, 786430, 1572862},
  n]

1/2 (-4 + 3× 2ⁿ)

Estos procesos de las funciones RSolveValue y FindSequenceFunction se realizan utilizando la Transformada Z que hace paso por los números complejos, por eso es posible que los resultados estén expresados en complejos, pero al calcular sus valores son números reales, por ejemplo:

RSolveValue[{s[n] == -3 s[n - 2], s[1] == 1, s[2] == 4}, s[n], n]








{1, 4, -3, -12, 9, 36, -27, -108, 81, 324}


Entre las sucesiones recurrentes lineales hay varias que son famosas como por ejemplo la sucesión de Fibonacci y la sucesión de Lucas, Mathematica las tiene ya incluidas como funciones propias y algunos resultados de RSolveValue y FindSequenceFunction los da en términos de ellas.

La sucesión de Fibonacci está definida como la suma de los dos términos anteriores partiendo de unos en los dos primeros términos, así su fórmula de recurrencia es :

x (n) = x (n - 1) + x (n - 2) con x (1) = x (2) = 1

Mathematica tiene como función propia:

Fibonacci[3]

2

Table[Fibonacci[n], {n, 10}]

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55}

La sucesión de Lucas, parece muy trivial, pues la misma Fibonacci solo que x(2)=3

LucasL[2]

3

Table[LucasL[n], {n, 10}]

{1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123}

Sobre este par de sucesiones dedicaré más adelante una entrada.

Para la sucesión de Golomb, sobre la que hable en la publicación del 8 de agosto de 2017, el matemático Colin Mallows determinó la siguiente fórmula de recurrencia:

s (1) = 1,  y,  s (n + 1) = 1 + s (n + 1 - s (s (n)))



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viernes, 1 de septiembre de 2017

Frase Célebre de Paul Erdös

¿Por qué son bellos los números?
Es como preguntar por qué es bella 
la novena sinfonía de Beethoven.
Si no ves por qué, nadie te lo puede decir.
Yo sé que los números son bellos.
Si no lo son, entonces nada lo es.


Paul Erdös