Circunferencias de Apolonio

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Creadas por Apolonio de Perge (Circa 262 a.C. - Circa 190 a.C.) cuyas obras se perdieron y aparecen únicamente menciones a sus trabajos. El problema que plantea Apolonio es: dados dos puntos fijos en el plano A y B, y r > 0 deseamos determinar todos los puntos P del plano tal que:

Aquí nos preguntamos por la división de las distancias desde A y B al punto P, si nos preguntamos por la suma la solución son elipses y por la resta son hipérbolas.

Para facilitar la representación vamos a suponer que : A (-a, 0), B (a, 0) y P (x, y), esto para a > 0, por tanto :

Manipulando los valores de a y r, tenemos :

Manipulate[
 Show[ContourPlot[
   a^2 + 2 a x + x^2 + y^2 == r^2 (a^2 - 2 a x + x^2 + y^2), {x, -5, 
    5}, {y, -5, 5}, Axes -> True], Graphics[{Red, Point[{-a, 0}]}], 
  Graphics[{Green, Point[{a, 0}]}]], {{a, 1}, 0, 3}, {{r, 0.5}, 
  0.0001, 5}]

Manipulando a para valores de r = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, 5, 2.5, 1.66, 1.25

Manipulate[
 Show[Table[
   ContourPlot[
    a^2 + 2 a x + x^2 + y^2 == r^2 (a^2 - 2 a x + x^2 + y^2), 
{x, -5, 5}, {y, -5, 5}, Axes -> True], {r, {0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, 5, 2.5, 1.66, 1.25}}], 
  Graphics[{Red, Point[{-a, 0}]}], 
  Graphics[{Green, Point[{a, 0}]}]], {{a, 1}, 0, 3}]

Ahora, vamos a determinar  la ecuación de las circunferencias que pasan por los puntos A(-a,0) y B(a,0), buscamos el centro (h, k) y el radio R tal que satisfaga :

donde obtenemos el sistema de ecuaciones :

Igualando por R², tenemos:

Clear[a]
Solve[{(a + h)^2 + k^2 == R^2, (a - h)^2 + k^2 == R^2}, {h, R}]

Tomando el valor de R > 0, obtenemos una familia de circunferencias que son ortogonales a las circunferencias de Apolonio.

Manipulate[
 Show[Table[
   ContourPlot[
    a^2 + 2 a x + x^2 + y^2 == r^2 (a^2 - 2 a x + x^2 + y^2), 
{x, -5, 5}, {y, -5, 5}], {r, {0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, 5, 2.5, 1.66, 
     1.25}}], 
  Table[Graphics[{Red, Circle[{0, k}, Sqrt[a^2 + k^2]]}], {k, -4, 
    4}]], {{a, 1}, 0, 3}]

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