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Pronunciación de Nombres de Matemáticos

martes, 3 de octubre de 2017

Gráficas Similares de Ecuaciones



Vamos a resolver el sistema de ecuaciones :



Con la ayuda del comando ContourPlot[ ] graficamos ambas ecuaciones en el plano:

g1 = ContourPlot[x^2/25 + y^2/16 == 1, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]


g2 = ContourPlot[x^2 + y^2 == (x^2/5 + y^2/4)^2, {x,-5,5},{y,-5, 5}]



Para verlas juntas en mismo plano:

Show[g1,g2]


Observamos que ambas ecuaciones corresponden al mismo lugar geométrico.

Pero al resolver por el comando Solve[ ] y graficar, tenemos:

sol = {x, y} /. 
  Solve[{x^2/25 + y^2/16 == 1, x^2 + y^2 == (x^2/5 + y^2/4)^2}, {x, y}]
g3 = Graphics[{Red, PointSize[Large], Point[sol]}];
Show[g1, g2, g3]

{{-5, 0}, {0, -4}, {0, 4}, {5, 0}}



Las ecuaciones solo coinciden en cuatro puntos, los señalados en rojo.

Al graficar el primer cuadrante con amabas ecuaciones vemos que NO coinciden

ContourPlot[{x^2/25 + y^2/16 == 1, 
  x^2 + y^2 == (x^2/5 + y^2/4)^2}, {x, 0, 5}, {y, 0, 5}, 
 ContourStyle -> {Green, Red}]


Al despejar x² en (1) y reemplazarlo en (2) obtenemos:


x^2 + y^2 == (x^2/5 + y^2/4)^2 /. x^2 -> (1 - y^2/16) 25




Simplify[%]
y³ == 16 y


Solve[y³ == 16 y, y]
{{y -> -4}, {y -> 0}, {y -> 4}}

Las segundas componentes de las soluciones que encontramos anteriormente.

Veamos numéricamente que tan diferentes son las curvas en el primer cuadrante:

Solve[x^2/25 + y^2/16 == 1, y]





Tomamos la segunda solución por ser la positiva.

Solve[x^2 + y^2 == (x^2/5 + y^2/4)^2, y]







Tomamos la segunda solución por ser la positiva y real, pues la cuarta da números complejos.

Realizando una tabla de valores, tenemos:











Obtenemos diferencia de 0 en los valores de x=0 y x=4, que son las soluciones que ya se habían encontrado.


El área entre las dos curvas es:







0.0978699

y el área de la curva mayor,







15.8058

comparando la diferencia de área entre las curvas con el área mayor obtenemos,

a1/a2

0.00619201

que corresponde a una diferencia en el área de 0.62%.

Así, la vista nos engaño al creer que las dos ecuaciones correspondían al mismo lugar geométrico.


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