Números expresables como la suma de tres cuadrados

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Si un número no es de la forma 4^n (8m+7) entonces es suma de tres cuadrados

Realizaremos el estudio numérico hasta el primer millón de enteros positivos.

Buscamos hasta el millón los números que son de la forma 4^n (8m+7). Como 4^9 < 1000000 < 4^10, n tomará valores entre 0 y 9, y puesto que 1000000/8=125000, m tomará valores entre 0 y 125000. Estos números se los restamos, de forma conjuntista, a los enteros hasta un millón para determinar los números que NO cumplen ser de la forma 4^n (8m+7).

aaa = Complement[Range[1000000], 
  Flatten@Table[4^n (8 m + 7), {n, 0, 9}, {m, 0, 125000}]]

Ahora, construimos todos los números que son suma de tres cuadrados

bbb = Sort@
  DeleteDuplicates@
   Flatten@Table[a^2 + b^2 + c^2, {a, 0, 1000}, {b, 0, a}, {c, 0, b}]

Seleccionamos los menores a un millón

ccc = Select[bbb, 0 < # <= 1000000 &]

Comparamos los dos conjuntos

Complement[aaa, ccc]
{}

Complement[ccc,aaa]
{}

Por tanto los dos conjuntos son iguales, así :

Si un número no es de la forma 4^n (8m+7) entonces es suma de tres cuadrados.



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