Circunferencias en Diferentes Métricas

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En matemáticas el concepto de distancia en un conjunto X se generaliza a funciones

dist: X×X→[0,∞) 

que cumplan las siguientes condiciones:

1. dist(x,y) ≥ 0
2. dist(x,y) = 0, si y sólo si, x = y
3. dist(x,y)=dist(y,x)
4. dist(x,y) ≤ dist(x,z) + dist(z,y)

Vamos a considerar tres diferentes métricas: La usual que corresponde a la métrica Euclidiana, la métrica del taxista o de Manhattan y la métrica del máximo o del tablero de ajedrez. Cada una de ellas está definida por:

estas métricas ya las tiene Mathematica predefinidas como: EuclideanDistance[ ], ManhattanDistance[ ] y ChessboardDistance[ ], respectivamente.

Ahora, vamos a representar todos los puntos del plano que se encuentran a una unidad de distancia del origen en las diferentes métricas:

euclidea[x_, y_] := EuclideanDistance[{x, y}, {0, 0}]

taxista[x_, y_] := ManhattanDistance[{x, y}, {0, 0}]

maximo[x_, y_] := ChessboardDistance[{x, y}, {0, 0}]

Manipulate[

 Show[ContourPlot[metrica[x, y] == 1, {x, -1.5, 1.5}, {y, -1.5, 1.5}, 

   Axes -> True], 

  Graphics[{Red, PointSize[Medium], 

    Which[metrica === euclidea, {Point[{Sqrt[1 - t^2], t}], 

      Line[{{0, 0}, {Sqrt[1 - t^2], t}}]}, 

     metrica === taxista, {Point[{t, 1 - t}], 

      Line[{{0, 0}, {t, 0}, {t, 1 - t}}]}, 

     metrica === maximo, {Point[{t, 1}], 

      Line[{{t, 0}, {t, 1}}]}]}]], {metrica, {euclidea, maximo, 

   taxista}}, {t, 0, 1}]

En rojo se muestra el segmento o la suma de segmentos que determinan la distancia del punto sobre la figura al origen.


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