Partimos de dos circunferencias concéntricas, trazamos un radio de la circunferencia mayor y dibujamos un triangulo rectángulo con hipotenusa el segmento de radio entre las dos circunferencias entonces el vértice que corresponde al ángulo recto corresponde a un punto de la elipse con semiejes menor y mayor los radios de las circunferencia interior y exterior respectivamente.
Al ir haciendo girar el radio con respecto al centro se va construyendo la elipse.
En Mathematica
cir = ContourPlot[{x^2 + y^2 == 1, x^2 + y^2 == 4}, {x, -3,
3}, {y, -3, 3}, Axes -> True];
Manipulate[
Show[cir,
Graphics[{{Dashed,
Line[{{2 Cos[\[Theta]], Sin[\[Theta]]}, {2 Cos[\[Theta]],
2 Sin[\[Theta]]}}],
Line[{{2 Cos[\[Theta]], Sin[\[Theta]]}, {Cos[\[Theta]],
Sin[\[Theta]]}}]},
Line[{{0, 0}, {2 Cos[\[Theta]], 2 Sin[\[Theta]]}}]}],
ParametricPlot[{2 Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, \[Theta]},
PlotStyle -> Red]], {\[Theta], 0.00001, 2 Pi}]
Manipulando el radio de las circunferencias, podemos lograr que el semieje mayor esté de forma vertical al intercambiar la circunferencia interior con la exterior.
Manipulate[r = Max[a, b];
Show[ContourPlot[{x^2 + y^2 == a^2, x^2 + y^2 == b^2}, {x, -3,
3}, {y, -3, 3}, Axes -> True],
Graphics[{{Dashed,
Line[{{b Cos[\[Theta]], a Sin[\[Theta]]}, {b Cos[\[Theta]],
b Sin[\[Theta]]}}],
Line[{{b Cos[\[Theta]], a Sin[\[Theta]]}, {a Cos[\[Theta]],
a Sin[\[Theta]]}}]},
Line[{{0, 0}, {r Cos[\[Theta]], r Sin[\[Theta]]}}]}],
ParametricPlot[{b Cos[t], a Sin[t]}, {t, 0, \[Theta]},
PlotStyle -> Red]], {{a, 1}, 0.1, 3}, {{b, 2}, 0.1, 3}, {\[Theta],
0.00001, 2 Pi}]
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