Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

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Las EDO (Ecuaciones Diferenciales Ordinarias) de primer Orden, las podemos escribir como:

es decir, como la derivada igual a una función que depende de la variable (x) y la incógnita (y).

Interpretación Geométrica

De Cálculo Diferencial sabemos que la derivada la interpretamos como: Pendiente de la recta tangente en un punto. Así, para cada punto en el plano (x,y) la función f(x,y) nos indica la pendiente de la recta tangente de alguna curva solución que por allí pase.

Campos de Pendientes

De acuerdo a la anterior interpretación, podemos en cada punto trazar un pequeño segmento que tenga la pendiente que nos indica la función f(x,y).

Comandos de Mathematica

Con los comandos VectorPlot[ ] y StreamPlot[ ] podemos representar los campos de pendientes

f[x_, y_] := x - 2 y
VectorPlot[{1, f[x, y]}, {x, -5, 5}, {y, -10, 10}]

StreamPlot[{1, f[x, y]}, {x, -5, 5}, {y, -10, 10}]

y mejorando la forma y tamaño de las flechas

VectorPlot[{1, f[x, y]}, {x, -5, 5}, {y, -10, 10}, Axes -> True, 
 Frame -> False, VectorScale -> {Tiny, Tiny, None}, 
 ImageSize -> Large]

Soluciones Analíticas

Mathematica resuelve EDO de forma analítica por medio del comando DSolve[ ], veamos:

Ejemplo :

Resolver la ecuación diferencial

DSolve[y'[x] + 2 y[x] == x, y[x], x]

sol = y[x] /. DSolve[{y'[x] + 2 y[x] == x, y[0] == 1}, y[x], x][[1]]

Graficando junto al campo de pendientes

g1 = VectorPlot[{1, f[x, y]}, {x, -5, 5}, {y, -10, 10}, Axes -> True, 
  Frame -> False, VectorScale -> {Tiny, Tiny, None}, 
  ImageSize -> Large]

g2 = Plot[sol, {x, -6, 6}, PlotStyle -> Red];
Show[g1, g2]

Clear[y, x, h, a, b]
plot1 = VectorPlot[{1, f[x, y]}, {x, -5, 5}, {y, -10, 10}, 
   Axes -> True, Frame -> False, VectorScale -> {Tiny, Tiny, None}, 
   ImageSize -> 250];
sola = DSolve[{y'[x] == f[x, y[x]], y[a] == b}, y[x], x];
h[x_, a_, b_] = Simplify[sola[[1, 1, 2]]];
plot3 = Plot[
   Evaluate[Table[h[x, a, b], {a, -3, 3, 2}, {b, -3, 3, 2}]], {x, -5, 
    5}, PlotRange -> {-10, 10}];
Show[plot1, plot3, ImageSize -> 250]

Mediante un Manipulate

Manipulate[
 Show[g1, Plot[
   Evaluate[
    y[x] /. DSolve[{y'[x] + 2 y[x] == x, y[a] == b}, y[x], x][[
      1]]], {x, -6, 6}, PlotStyle -> Red],(*Plot[1/2x-1/4,{x,-5,5}],*)
  Graphics[{PointSize[Large], Point[{a, b}]}]], {{a, 0}, -5, 
  5}, {{b, 0}, -5, 5}]

Otro Ejemplo

La ecuación diferencial

DSolve[y'[x] == y[x]^2 - 4, y[x], x]

Manipulate[
 Show[VectorPlot[{1, y^2 - 4}, {x, -5, 5}, {y, -6, 6}, Axes -> True, 
   Frame -> False, VectorScale -> {Tiny, Tiny, None}, 
   ImageSize -> 250], 
  Plot[{-2, 
    2, -((2 (2 + c - 2 E^(4 x) + c E^(4 x)))/(-2 - c - 2 E^(4 x) + 
      c E^(4 x)))}, {x, -5, 5}, PlotStyle -> {LightBlue, Green, Red}, 
   Exclusions -> {-2 - c - 2 E^(4 x) + c E^(4 x) == 0}]], {{c, 
   0}, -10, 10}]

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