Se desarrollan temas de matemáticas con el uso del software Wolfram Mathematica. . germanalvarado@usta.edu.co
martes, 10 de abril de 2018
Optimización sin restricciones de funciones escalares sobre el plano
Colaboración del Profesor Nicolás Marciales
Dada una función escalar sobre el plano f(x,y) se determinan y clasifican sus puntos críticos como extremos locales, para esto definimos la función criticos[ ]
criticos[f_] :=
Module[{a, h, det},
hessiana[f] := {{D[f, x, x], D[f, x, y]}, {D[f, y, x], D[f, y, y]}};
a = NSolve[{D[f, x] == 0, D[f, y] == 0}, {x, y}, Reals];
det = Det[hessiana[f] /. a[[1]]];
For[i = 1, i <= Length[a], i++, det = Det[hessiana[f] /. a[[i]]];
h = hessiana[f] /. a[[i]];
If[det < 0, Print[{x, y} /. a[[i]], " Punto de silla."],
If[h[[1]][[1]] > 0, Print[{x, y} /. a[[i]], " Mínimo."],
Print[{x, y} /. a[[i]], " Máximo."]]]
]]
Veamos un ejemplo
criticos[y^3 + 3 x^2 y - 6 x^2 - 6 y^2 + 2 ]
{2.,2.} Punto de silla.
{0.,4.} Mínimo.
{-2.,2.} Punto de silla.
{0.,0.} Máximo.
Gráficamente, de rojo los puntos de silla, amarillo el máximo local y de verde el mínimo local:
f[x_, y_] := y^3 + 3 x^2 y - 6 x^2 - 6 y^2 + 2
Show[Plot3D[f[x, y] , {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
Graphics3D[{PointSize[0.03], {Red,
Point[{{2, 2, f[2, 2]}, {-2, 2, f[-2, 2]}}]}, {Green,
Point[{0, 4, f[0, 4]}]}, {Yellow, Point[{0, 0, f[0, 0]}]}}]]
en curvas de nivel
Show[ContourPlot[f[x, y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
Graphics[{PointSize[0.03], {Red, Point[{{2, 2}, {-2, 2}}]}, {Green, Point[{0, 4}]}, {Yellow, Point[{0, 0}]}}]]
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