Este es un Acertijo del mismo tipo del Problema del Cumpleaños que publique el 5 de enero de 2018, donde hacia mención que utilizar Mathematica en su solución era como utilizar un tractor para arreglar el jardín de la casa, pues ahora sí es indispensable la ayuda de la computación aunque el razonamiento sea el mismo del problema del cumpleaños.
Enunciado
Se escogen dos números enteros mayores que 1 y menores que 100. A continuación, y por separado, al sujeto S se le comunica cuál es la suma de estos dos números y al sujeto P el producto de estos dos números. S sabe que P conoce el producto, P que S conoce la suma y a ninguno se le ha dicho cuáles son los números iniciales.Tras esto, S y P se reúnen y se les pregunta si saben cuáles son los números iniciales. Y eso es lo que contestan :
P : No sé cuales son estos números.
S : Sabía que no podrías saberlo.
P : Ah, pues entonces ya sé qué números son.
S : Pues entonces yo también.
Solución
Se puede determinar de forma analítica una solución, voy a dar es una solución dese el punto de vista computacional. Los invito a buscar la solución de forma analítica.
Formamos las cuartetas de todas las posibles opciones, tomando el menor de los dos números en la primera componente, en la segunda el mayor de los números, en la tercera su producto y en la cuarta su suma.
opc = Flatten[Table[{x, y, x y, x + y}, {y, 2, 99}, {x, 2, y}], 1]
La cantidad inicial de posibilidades que se tienen son:
Length[opc]
4851
P : No sé cuales son estos números.
Indica P que el número que le dijeron es un producto que se obtiene de más de una forma, por tanto hallamos todos los posibles productos que se obtienen de una sola forma
prod = Transpose[
Select[Tally[Transpose[opc][[3]]], MemberQ[#, 1] &]][[1]];
cantidad de posibles valores que NO le pudieron dar a P
Length[prod]
1775
S : Sabía que no podrías saberlo.
Al afirmar esto dice que el valor que le dieron a S corresponde SIEMPRE a la suma de números cuyo producto se obtiene de más de una forma.
Los posibles valores que le podían dar a S son números desde 4 hasta 198, vamos a determinar para cuales de estos valores siempre corresponde a la suma de dos números cuyo producto se pueda obtener de otra forma:
noopc = {};
Do[If[IntersectingQ[Table[j (k - j), {j, 2, k - 2}], prod],
AppendTo[noopc, k]], {k, 4, 198}]
noopc
{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 24,
25, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198}
Así, el posible valor que le dieron a S es uno de los siguientes:
suma = Complement[Range[4, 198], noopc]
{11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}
P : Ah, pues entonces ya sé qué números son.
Conociendo P el valor del producto de los números y la lista de los posibles valores que le dieron a S como la suma de ellos, determinamos todas las posibles opciones que tienen como suma los números anteriores
opc1 = {};
Do[If[MemberQ[suma, opc[[n, 4]]], AppendTo[opc1, opc[[n]]]], {n,
Length[opc]}]
opc1
{{5, 6, 30, 11}, {4, 7, 28, 11}, {3, 8, 24, 11}, {2, 9, 18, 11},
{8, 9, 72, 17}, {7, 10, 70, 17}, {6, 11, 66, 17}, {5, 12, 60, 17}, {11, 12, 132, 23}, {4, 13, 52, 17}, {10, 13, 130, 23},
{3, 14, 42, 17}, {9, 14, 126, 23}, {13, 14, 182, 27},
{2, 15, 30, 17}, {8, 15, 120, 23}, {12, 15, 180, 27},
{14, 15, 210, 29}, {7, 16, 112, 23}, {11, 16, 176, 27},
{13, 16, 208, 29}, {6, 17, 102, 23}, {10, 17, 170, 27},
{12, 17, 204, 29}, {5, 18, 90, 23}, {9, 18, 162, 27},
{11, 18, 198, 29}, {17, 18, 306, 35}, {4, 19, 76, 23},
{8, 19, 152, 27}, {10, 19, 190, 29}, {16, 19, 304, 35},
{18, 19, 342, 37}, {3, 20, 60, 23}, {7, 20, 140, 27},
{9, 20, 180, 29}, {15, 20, 300, 35}, {17, 20, 340, 37},
{2, 21, 42, 23}, {6, 21, 126, 27}, {8, 21, 168, 29},
{14, 21, 294, 35}, {16, 21, 336, 37}, {20, 21, 420, 41},
{5, 22, 110, 27}, {7, 22, 154, 29}, {13, 22, 286, 35},
{15, 22,330, 37}, {19, 22, 418, 41}, {4, 23, 92, 27},
{6, 23, 138, 29}, {12, 23, 276, 35}, {14, 23, 322, 37},
{18, 23, 414, 41}, {3, 24, 72, 27}, {5, 24, 120, 29},
{11, 24, 264, 35}, {13, 24, 312, 37}, {17, 24, 408, 41},
{23, 24, 552, 47}, {2, 25, 50, 27}, {4, 25, 100, 29},
{10, 25, 250, 35}, {12, 25, 300, 37}, {16, 25, 400, 41},
{22, 25, 550, 47}, {3, 26, 78, 29}, {9, 26, 234, 35},
{11, 26, 286, 37}, {15, 26, 390, 41}, {21, 26, 546, 47},
{2, 27, 54, 29}, {8,27, 216, 35}, {10, 27, 270, 37},
{14, 27, 378, 41}, {20, 27, 540, 47}, {26, 27, 702, 53},
{7, 28, 196, 35}, {9, 28, 252, 37}, {13, 28, 364, 41},
{19, 28, 532, 47}, {25, 28, 700, 53}, {6, 29, 174, 35},
{8, 29, 232, 37}, {12, 29, 348, 41}, {18, 29, 522, 47},
{24, 29, 696, 53}, {5, 30, 150, 35}, {7, 30, 210, 37},
{11, 30, 330, 41}, {17, 30, 510, 47}, {23, 30, 690, 53},
{4, 31, 124, 35}, {6, 31,186, 37}, {10, 31, 310, 41},
{16, 31, 496, 47}, {22, 31, 682, 53}, {3, 32, 96, 35},
{5, 32, 160, 37}, {9, 32, 288, 41}, {15, 32, 480, 47},
{21, 32, 672, 53}, {2, 33, 66, 35}, {4, 33, 132, 37},
{8, 33, 264, 41}, {14, 33, 462, 47}, {20, 33, 660, 53},
{3, 34, 102, 37}, {7, 34, 238, 41}, {13, 34, 442, 47},
{19, 34, 646, 53}, {2, 35,70, 37}, {6, 35, 210, 41},
{12, 35, 420, 47}, {18, 35, 630, 53}, {5, 36, 180, 41},
{11, 36, 396, 47}, {17, 36, 612, 53}, {4, 37,148, 41},
{10, 37, 370, 47}, {16, 37, 592, 53}, {3, 38, 114, 41},
{9, 38, 342, 47}, {15, 38, 570, 53}, {2, 39, 78, 41},
{8, 39, 312, 47}, {14, 39, 546, 53}, {7, 40, 280, 47},
{13, 40, 520, 53}, {6, 41, 246, 47}, {12, 41, 492, 53},
{5, 42, 210, 47}, {11, 42,462, 53}, {4, 43, 172, 47},
{10, 43, 430, 53}, {3, 44, 132, 47}, {9, 44, 396, 53},
{2, 45, 90, 47}, {8, 45, 360, 53}, {7, 46, 322, 53},
{6, 47, 282, 53}, {5, 48, 240, 53}, {4, 49, 196, 53},
{3, 50, 150, 53}, {2, 51, 102, 53}}
El posible número que conocía P, es entonces uno de los siguientes:
prod2 = Transpose[
Select[Tally@Table[opc1[[n, 3]], {n, Length[opc1]}],
MemberQ[#, 1] &]][[1]]
{28, 24, 18, 52, 130, 182, 112, 176, 208, 170, 204, 162, 198, 306,
76, 152, 190, 304, 140, 340, 168, 294, 336, 110, 154, 418, 92, 138, 276, 414, 408, 552, 50, 100, 250, 400, 550, 234, 390, 54, 216, 270, 378, 540, 702, 252, 364, 532, 700, 174, 232, 348, 522, 696, 510, 690, 124, 186, 310, 496, 682, 96, 160, 288, 480, 672, 660, 238, 442, 646, 630, 612, 148, 370, 592, 114, 570, 280, 520, 246, 492, 172, 430, 360, 282, 240}
Length[prod2]
86
Las cuartetas asociadas con prod2, son:
opc2 = {};
Do[If[MemberQ[prod2, opc1[[n, 3]]], AppendTo[opc2, opc1[[n]]]], {n,
Length[opc1]}]
opc2
{{4, 7, 28, 11}, {3, 8, 24, 11}, {2, 9, 18, 11}, {4, 13, 52, 17}, {10, 13, 130, 23}, {13, 14, 182, 27}, {7, 16, 112, 23},
{11, 16, 176, 27}, {13, 16, 208, 29}, {10, 17, 170, 27},
{12, 17, 204, 29}, {9, 18, 162, 27}, {11, 18, 198, 29},
{17, 18, 306, 35}, {4, 19, 76, 23}, {8, 19, 152, 27},
{10, 19, 190, 29}, {16, 19, 304, 35}, {7, 20,140, 27},
{17, 20, 340, 37}, {8, 21, 168, 29}, {14, 21, 294, 35},
{16, 21, 336, 37}, {5, 22, 110, 27}, {7, 22, 154, 29},
{19, 22, 418, 41}, {4, 23, 92, 27}, {6, 23, 138, 29},
{12, 23, 276, 35}, {18, 23, 414, 41}, {17, 24, 408, 41},
{23, 24, 552, 47}, {2, 25, 50, 27}, {4, 25, 100, 29},
{10, 25, 250, 35}, {16, 25, 400, 41}, {22, 25, 550, 47},
{9, 26, 234, 35}, {15, 26, 390, 41}, {2, 27,54, 29},
{8, 27, 216, 35}, {10, 27, 270, 37}, {14, 27, 378, 41},
{20, 27, 540, 47}, {26, 27, 702, 53}, {9, 28, 252, 37},
{13, 28, 364, 41}, {19, 28, 532, 47}, {25, 28, 700, 53},
{6, 29, 174, 35}, {8, 29, 232, 37}, {12, 29, 348, 41},
{18, 29, 522, 47}, {24, 29, 696, 53}, {17, 30, 510, 47},
{23, 30, 690, 53}, {4, 31, 124, 35}, {6, 31, 186, 37},
{10, 31, 310, 41}, {16, 31, 496, 47}, {22, 31, 682, 53},
{3, 32, 96, 35}, {5, 32, 160, 37}, {9, 32, 288, 41},
{15, 32, 480, 47}, {21, 32, 672, 53}, {20, 33, 660, 53},
{7, 34, 238, 41}, {13, 34, 442, 47}, {19, 34, 646, 53},
{18, 35, 630, 53}, {17, 36, 612, 53}, {4, 37, 148, 41},
{10, 37, 370, 47}, {16, 37, 592, 53}, {3, 38, 114, 41},
{15, 38, 570, 53}, {7, 40, 280, 47}, {13, 40, 520, 53},
{6, 41, 246, 47}, {12, 41, 492, 53}, {4, 43,172, 47},
{10, 43, 430, 53}, {8, 45, 360, 53}, {6, 47, 282, 53},
{5, 48, 240, 53}}
Length[opc2]
86
Como cada valor del producto, tercera componente, solo aparece una vez, al conocer P el producto conocía los números. Aquí obtenemos el número y las veces que aparece:
Tally[Transpose[opc2][[3]]]
{{28, 1}, {24, 1}, {18, 1}, {52, 1}, {130, 1}, {182, 1}, {112, 1}, {176, 1}, {208, 1}, {170, 1}, {204, 1}, {162, 1}, {198, 1}, {306,1}, {76, 1}, {152, 1}, {190, 1}, {304, 1}, {140, 1}, {340,1}, {168, 1}, {294, 1}, {336, 1}, {110, 1}, {154, 1}, {418, 1}, {92, 1}, {138, 1}, {276, 1}, {414, 1}, {408, 1}, {552, 1}, {50, 1}, {100, 1}, {250, 1}, {400, 1}, {550, 1}, {234, 1}, {390, 1}, {54, 1}, {216, 1}, {270, 1}, {378, 1}, {540, 1}, {702, 1}, {252, 1}, {364,1}, {532, 1}, {700, 1}, {174, 1}, {232, 1}, {348, 1}, {522, 1}, {696,1}, {510, 1}, {690, 1}, {124, 1}, {186, 1}, {310, 1}, {496, 1}, {682,1}, {96, 1}, {160, 1}, {288, 1}, {480,1}, {672, 1}, {660, 1}, {238, 1}, {442, 1}, {646, 1}, {630, 1}, {612, 1}, {148, 1}, {370, 1}, {592,1}, {114, 1}, {570, 1}, {280, 1}, {520, 1}, {246, 1}, {492, 1}, {172,1}, {430, 1}, {360, 1}, {282, 1}, {240, 1}}
Es decir, si a P le habían dado el número 28 el sabe que los números son 4 y 7 (viendo la tabla de opc2) pues 4+7=11 está entre los posibles valores que le dieron a S. Aclaro, que la posibilidad 2 y 14 no puede ser pues 2+14=16 no está entre los posibles valores que le dieron a S (ver lista llamada suma).
S : Pues entonces yo también.
Esto quiere decir que de las posibilidades de opc2 es la suma que aparezca una sola vez
Select[Tally[Transpose[opc2][[4]]], MemberQ[#, 1] &]
{{17,1}}
Así, la cuarteta es :
Do[If[opc2[[n, 4]] == 17, Print[opc2[[n]]]], {n, Length[opc2]}]
{4,13,52,17}
Por tanto, los números son 4 y 13.
Ejercicio
Dos variaciones del problema inicial:
Variación 1.
Vamos a considerar ahora exactamente el mismo problema pero cambiando una línea del diálogo.
P : No sé cuales son estos números.
S : Pues yo tampoco.
P : Ah, pues entonces ya sé qué números son.
S : Pues entonces yo también.
La pregunta vuelve a ser que cuales son los números iniciales. ¿Serán los mismos anteriores?
Variación 2.
De nuevo consideramos el mismo problema y el diálogo va a ser el mismo que en la variación 1 pero cambiando el orden en el que hablan, es decir :
S : No sé cuales son estos números.
P : Pues yo tampoco.
S : Ah, pues entonces ya sé qué números son.
P : Pues entonces yo también.
En este caso vamos a tener un dato extra, sabemos que la suma va a ser como mucho 100 (pero P desconoce este dato).
¿Cuáles son los números iniciales? ¿Serán los mismos anteriores?
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