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martes, 12 de junio de 2018

Representación Gráfica de las Raíces de una Función Cuadrática



Sabemos que la función


tiene por gráfica una parábola que abre hacia arriba si a es positivo y hacia abajo si a es negativo, y sus raíces están dadas por:


y si la cantidad b² - 4 a c que se llama el discriminante de la función es positivo, corta al eje x en dos puntos, que son sus raíces, y están ubicadas  sobre el eje x en los puntos (x1, 0) y (x2, 0), si es igual a cero corta el eje en un único punto ubicado en (-b/2 a, 0).

Aspecto que podemos ver en el siguiente aplicativo, donde los puntos rojos son sus raíces:

Manipulate[disc = b^2 - 4 a c; 
 If[disc >= 
   0, {x1, x2} = {(-b - Sqrt[disc])/(2 a), (-b + Sqrt[disc])/(2 a)}]; 
 Show[Plot[a x^2 + b x + c, {x, -10, 10}, PlotRange -> 10], 
  If[disc >= 0, Graphics[{Red, Point[{x1, 0}], Point[{x2, 0}]}], 
   Graphics[Point[{0, 0}]]]], {a, -4, 4}, {b, -4, 4}, {c, -4, 4}]



Si el discriminante es negativo entonces al extraer la raíz cuadrada obtenemos soluciones complejas que las vamos a representar de acuerdo al siguiente proceso:
1. Los números complejos son de la forma a+b I, donde I tiene la propiedad que al ser elevada al cuadrado da -1, el valor a se representa sobre el eje horizontal (las x) y el valor b sobre el eje vertical (las y).
2. El tener raíces complejas implica que la parábola no corta el eje de las x, pero la parábola simétrica con respecto a la línea horizontal que pasa por su vértice sí corta al eje x en dos puntos p1 y p2.
3. Trazamos la circunferencia que pasa por los puntos p1 y p2, que tiene su centro en el punto medio de ellos.
4. los puntos sobre el diámetro vertical de la circunferencia, siguiendo la convención dada en 1., son la representación de sus raíces.

En el siguiente aplicativo la parábola simétrica a la dada por la función está puntada de amarillo, los puntos p1 y p2 están de negro, la circunferencia de verde y como antes las raíces de la función de rojo.

Manipulate[disc = b^2 - 4 a c; 
 If[disc >= 
   0, {x1, x2} = {(-b - Sqrt[disc])/(2 a), (-b + 
       Sqrt[disc])/(2 a)}, {x1, 
    x2} = {(-b - Sqrt[-disc])/(2 a), (-b + Sqrt[-disc])/(2 a)}]; 
 Show[Plot[a x^2 + b x + c, {x, -10, 10}, PlotRange -> 10], 
  If[disc < 0, 
   Plot[-a x^2 - b x - c + (4 a c - b^2)/(2 a), {x, -10, 10}, 
    PlotStyle -> {Yellow, Dashed}], 
   Plot[a x^2 + b x + c, {x, -10, 10}]], 
  Graphics[{{If[disc >= 0, Red, Black], Point[{x1, 0}], 
     Point[{x2, 0}]}, 
    If[disc < 0, {Red, Point[{(x1 + x2)/2, (x2 - x1)/2}], 
      Point[{(x1 + x2)/2, (x1 - x2)/2}]}], 
    If[disc < 0, {Green, Dashed, 
      Circle[{(x1 + x2)/2, 0}, Abs[(x1 - x2)/2]]}, Point[{0, 0}]]}], 
  AspectRatio -> 1], {a, -4, 4}, {b, -4, 4}, {c, -4, 4}]




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