Se desarrollan temas de matemáticas con el uso del software Wolfram Mathematica. . germanalvarado@usta.edu.co
martes, 31 de julio de 2018
Murciélago Complejo
Dadas las funciones
A[t] = 3 Sin³[t] - 3 I/4 Cos[4 t] y B[t] = 3/2 Sin⁵[t] - I/2 Cos[3 t]
graficando la parte real y la parte imaginaria del segmento que las une, podemos encontrar una gráfica que se asemeja a un murciélago.
A[t_] := 3. Sin[t]^3 - 3 I/4 Cos[4 t]
B[t_] := 3./2 Sin[t]^5 - I/2 Cos[3 t]
ParametricPlot[
ReIm[λ A[t] + (1 -λ) B[t]], {λ, -1, 1}, {t, 0, 2 Pi}]
Podemos generar otro tipo de figuras variando el intervalo de Lambda.
Manipulate[
ParametricPlot[
ReIm[λ A[t] + (1 - λ) B[t]], {λ, -a, a}, {t,0, 2 Pi}], {a, 0.0001, 5}]
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viernes, 27 de julio de 2018
Frase Célebre de Albert Einstein
¡Si yo estuviese equivocado, uno sólo habría sido suficiente!
Refiriéndose al libro "100 autores en contra de Einstein"
Refiriéndose al libro "100 autores en contra de Einstein"
Albert Einstein
martes, 24 de julio de 2018
Óvalo de Cassini
Dados dos puntos del plano (focos) y una constante positiva, el Óvalo de Cassini corresponde al conjunto de puntos en el plano tales que el producto de las distancias a los focos es igual a la constante dada.
Sean la constante C los focos en los puntos (-2,0) y (2,0). Entonces la ecuación del Óvalo de Cassini corresponde al conjunto:
Variando el valor C de la constante, obtenemos:
base = ContourPlot[((x + 2)^2 + y^2) ((x - 2)^2 + y^2) == 16, {x, -4, 4}, {y, -3, 3}, ContourStyle -> Green];
Manipulate[
Show[base,
ContourPlot[((x + 2)^2 + y^2) ((x - 2)^2 + y^2) == c^2, {x, -4,
4}, {y, -3, 3}, ContourStyle -> {Dashed, Red}]], {c, 0, 10}]
Observamos, que para valores de C menores que la distancia entre los focos se obtienen dos óvalos al rededor de los focos, cuando la constante es igual a la distancia de los focos se obtiene una curva en forma de ocho alrededor de los focos y cuando C es mayor que la distancia entre los focos se obtiene la que se conoce como el Óvalo de Cassini.
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viernes, 20 de julio de 2018
Frase Célebre de Cicerón
Como nada es más hermoso que conocer la verdad,
nada es más vergonzoso que aprobar la mentira
y tomarla por verdad.
nada es más vergonzoso que aprobar la mentira
y tomarla por verdad.
Cicerón
martes, 17 de julio de 2018
Pila de Tablas
Tenemos una pila de tablas que giran a diferentes velocidades sobre su centro.
v[x_, y_, z_] =
Flatten[Table[{(-1)^i*x, (-1)^j*y, (-1)^k*z}, {i, 0, 1}, {j, 0,
1}, {k, 0, 1}], 2];
f = {{1, 2, 4, 3}, {1, 2, 6, 5}, {5, 6, 8, 7}, {3, 4, 8, 7}, {1, 3, 7, 5}, {2, 4, 8, 6}};
G[x_, y_, z_, s_, H_, t_] :=
Table[Translate[
Rotate[GraphicsComplex[v[x, y, z], Polygon[f]],
h (Cos[t] + 1) Pi/4, {0, 0, 1}], {0, 0, s*h}], {h, 1, H}]
Manipulate[
Graphics3D[G[2, 2, .1, .25, 30, t], Lighting -> "Neutral",
ViewPoint -> Front, ViewAngle -> 35 Degree, Boxed -> False,
ImageSize -> 500], {t, 0, Pi}]
El código no es mio, pero no recuerdo su origen.
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viernes, 13 de julio de 2018
Frase Célebre de Petrus Jacobus Joubert
Es mejor debatir una cuestión sin resolverla
que resolver una cuestión sin debatirla.
que resolver una cuestión sin debatirla.
Petrus Jacobus Joubert
martes, 10 de julio de 2018
La Super fórmula de Gielis
Es una generalización en coordenadas polares de la superelipse o curva de Lamé (de la cual publique aquí), fue propuesta en el año de 2003 por el biólogo Johan Gielis para simular la forma de algunos organismos unicelulares, se define como:
donde r es el radio y θ el ángulo para la representación polar.
En Mathematica
Definimos la función:
formula[{a_, b_, m_}, {n1_, n2_, n3_},
phi_] := (Abs[Cos[m phi/4]/a]^n2 + Abs[Sin[m phi/4]/b]^n3)^(-1/n1)
Algunos de los mejores resultados se obtienen para a=b=1, veamos algunos ejemplos:
Graphics[#, Ticks -> None, Axes -> True,
AspectRatio ->
Automatic] & /@ (PolarPlot[
formula[Sequence @@ Rest[#], θ, {θ, 0, 2 Pi},
PlotLabel -> First[#],
Axes -> None,
PlotStyle ->
Directive[{EdgeForm[Blue], FaceForm[Hue[0.5]]}]] & /@ {
{"m=3; n1=4.5; n2=10; n3=10", {1, 1, 3}, {4.5, 10, 10}},
{"m=4; n1=12; n2=15; n3=15", {1, 1, 4}, {12, 15, 15}},
{"m=7; n1=10; n2=6; n3=6", {1, 1, 7}, {10, 6, 6}},
{"m=5; n1=4; n2=4; n3=4", {1, 1, 5}, {4, 4, 4}},
{"m=5; n1=2; n2=7; n3=7", {1, 1, 5}, {2, 7,
7}}, {"m=3; n1=5; n2=18; n3=18", {1, 1, 3}, {5, 18,
18}}, {"m=7; n1=3; n2=4; n3=17", {1, 1, 7}, {3, 4,
17}}, {"m=7; n1=3; n2=6; n3=6", {1, 1, 7}, {3, 6,
6}}, {"m=8; n1=1; n2=1; n3=8", {1, 1, 8}, {1, 1,
8}}, {"m=8; n1=1; n2=5; n3=8", {1, 1, 8}, {1, 5,
8}}, {"m=6; n1=1; n2=7; n3=8", {1, 1, 6}, {1, 7,
8}}, {"m=4; n1=1; n2=7; n3=8", {1, 1, 4}, {1, 7, 8}}
} /. Line -> Polygon)
Resumiéndolas en un Manipulate:
Manipulate[
PolarPlot[
formula[{1, 1, m}, {n1, n2, n3},θ], {θ, 0,
2 \[Pi]},Axes -> None,
PlotStyle -> Directive[{EdgeForm[Blue], FaceForm[Hue[0.5]]}]] /.
Line -> Polygon, {m, {4, 5, 6, 7, 8}}, {n1, {1, 2, 3}}, {n2, {4, 5, 6, 7, 8}}, {n3, {4, 5, 6, 7, 8}}]
La Super Fórmula en 3D
Consideraremos las coordenadas en cartesianas dadas por:
Así, obtenemos :
Manipulate[
ParametricPlot3D[{formula[{1, 1, m}, {n1, n2, n3}, θ] Cos[θ] formula[{1, 1, m}, {n1, n2, n3}, φ] Cos[φ],
formula[{1, 1, m}, {n1, n2, n3}, θ] Sin[θ] formula[{1, 1, m}, {n1, n2, n3}, φ] Cos[φ],
formula[{1, 1, m}, {n1, n2, n3}, φ] Sin[φ]}, {θ, 0, 2 Pi},
{φ, 0, 2 Pi}],{m, {4, 5, 6, 7, 8}}, {n1, {1, 2, 3}},
{n2, {4, 5, 6, 7, 8}}, {n3, {4, 5, 6, 7, 8}}]
La invitación es para modificar el código y darle otros valores a los parámetros que definen la Super fórmula.
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viernes, 6 de julio de 2018
Frase Célebre de Sylvia Serfaty
Resolver un problema matemático
es como una caminata cuesta arriba,
excepto que no siempre puedes ver el camino
o lo lejos que estás de la cima.
es como una caminata cuesta arriba,
excepto que no siempre puedes ver el camino
o lo lejos que estás de la cima.
Sylvia Serfaty
martes, 3 de julio de 2018
Curva de Lamé
Su nombre se debe al matemático francés Gabriel Lamé, a quien se debe la notación cartesiana de las cónicas.
La curva de Lamé corresponde al lugar geométrico en el plano xy que satisface la ecuación:
donde k toma valores mayores que cero, si k es menor que 2 es una hipo-circunferencia y si k es mayor que 2 es una hiper-circunferencia.
En Mathematica
Grid@Table[{"k=", k,
ContourPlot[Abs[x]^k + Abs[y]^k == 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1},
Axes -> True, ContourStyle -> Red, FrameTicks -> False]}, {k, 0.5,
3, 0.5}]
El área de la región encerrada por una Curva de Lamé, está dada por :
Generalización
Se puede generalizar la Curva de Lamé considerando diferentes valores de los exponentes:
TableForm[
Table[RegionPlot[Abs[x]^k + Abs[y]^n <= 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1},
Axes -> True, FrameTicks -> False], {k, 0.5, 4, 1}, {n, 0.5, 4,
1}], TableHeadings -> {{"k=0.5", "k=1.5", "k=2.5",
"k=3.5"}, {"n=0.5", "n=1.5", "n=2.5", "n=3.5"}}]
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