Plano Tangente

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Problema

Determinar la ecuación del plano tangente a la función definida por f(x,y)= x² + 2x - 4y²  en el punto (1,-2).

Primer paso

Determinamos la altura del punto sobre la superficie :

f(1,-2)=1²+2(1)-4(-2)²=-13

Segundo Paso

Trazamos un plano vertical ortogonal al eje x que pase por el punto (1,- 2,-13), de ecuación x=1.
Allí la función se transforma en:

f (1, y) = 1²+2(1)-4y² = 3-4y²

Y determinamos la ecuación de su recta tangente de acuerdo al Cálculo Diferencial.

Manipulate[
 Show[Plot[3 - 4 y^2, {y, -3, 3}, PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]},
    PlotTheme -> "Marketing"], 
  If[TangenteY, 
   Plot[16 y + 19, {y, -3, 3}, 
    PlotStyle -> {Green, Thickness[0.005]}], 
   Graphics[Point[{-2, 13}]]]], {{TangenteY, False, 
   "Tangente en Y"}, {False, True}}]

Tercer Paso

Trazamos un plano vertical ortogonal al eje y que pase por el punto (1,- 2,-13), de ecuación y = -2.
Allí la función se transforma en:

f (x, -2) = x²+2x-4(-2)² = x²+2x-16

Y determinamos la ecuación de su recta tangente igual que en el caso anterior.

Manipulate[

 Show[Plot[x^2 + 2 x - 16, {x, -3, 3}, 

   PlotStyle -> {Blue, Thickness[0.01]}, PlotTheme -> "Marketing"], 

  If[TangenteX, 

   Plot[4 x - 17, {x, -3, 3}, PlotStyle -> {Pink, Thickness[0.005]}], 

   Graphics[Point[{-2, 13}]]]], {{TangenteX, False, 

   "Tangente en X"}, {False, True}}]

Cuarto Paso

Las ecuaciones paramétricas de las dos rectas obtenidas son:

En el plano x = 1:

x = 1, y = t, z = 16 t + 19.

En el plano y = -2:

x = t, y = -2, z = 4 t - 17.

Con ellas podemos determinar la ecuación del plano que las contiene:

Vector normal del plano:

Cross[{0, 1, 16}, {1, 0, 4}]
{4,16,-1}

Ecuación del plano con vector normal (4, 16, -1) que pasa por el punto (1, -2, -13) es :

4(x-1)+16(y-(-2))-1(z-(-13))=0

Clear[x, y, z]
Solve[4 (x - 1) + 16 (y - (-2)) - 1 (z - (-13)) == 0, z]

{{z -> 15 + 4 x + 16 y}}

Quinto Paso

Visualizando la anterior información en el espacio, tenemos :

Definiendo las funciones:

g1 = Plot3D[x^2 + 2 x - 4 y^2, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, 
  PlotStyle -> Opacity[0.5]]; cx = 
 ContourPlot3D[x == 1, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -40, 30}, 
  Mesh -> None, ContourStyle -> {Opacity[0.3], Red}];
cy = ContourPlot3D[y == -2, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -40, 30}, 
   Mesh -> None, ContourStyle -> {Opacity[0.3], Yellow}];
px = ParametricPlot3D[{1, t, 3 - 4 t^2}, {t, -3, 3}, 
  PlotStyle -> {Red, Thickness[0.015]}]; py = 
 ParametricPlot3D[{t, -2, t^2 + 2 t - 16}, {t, -3, 3}, 
  PlotStyle -> {Blue, Thickness[0.015]}];
punto = Graphics3D[Point[{1, -2, -11}]];
tx = ParametricPlot3D[{1, t, 16 t + 19}, {t, -3, 3}, 
   PlotStyle -> {Green, Thickness[0.01]}];
ty = ParametricPlot3D[{t, -2, 4 t - 17}, {t, -3, 3}, 
   PlotStyle -> {Pink, Thickness[0.01]}];
plano = ContourPlot3D[
   z == 4 x + 16 y + 15, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -30, 10}, 
   ContourStyle -> Orange, PlotPoints -> 60, Mesh -> 2];

Construyendo el aplicativo interactivo:

Manipulate[
 Show[g1, If[planox, cx, punto], If[planoy, cy, punto], 
  If[curvax, px, punto], If[curvay, py, punto], 
  If[TangenteX, tx, punto], If[TangenteY, ty, punto], 
  If[pp, plano, punto]], 
 Text[Style["Plano x=1", Bold]], {planox, {False, 
   True}}, {curvax, {False, True}}, {TangenteX, {False, True}}, 
 Text[Style["Plano y=-2", Bold]], {planoy, {False, 
   True}}, {curvay, {False, True}}, {TangenteY, {False, True}}, 
 Text[Style["Plano Tangente", Bold]], {{pp, False, 
   "Plano Tangente"}, {False, True}}]

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