Frase Célebre de Charles Darwin

Yo no inventé la evolución.
Los procesos evolutivos de la naturaleza son un HECHO
independientemente de mí.
Si yo no hubiera nacido, la evolución seguiría estando ahí,
tan real como siempre ha sido.

Charles Darwin

Sucesión de Van Eck

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Se debe a Jan Ritsema van Eck, quien fue el primero en publicar sobre ella.

Es una sucesión que comienza con un cero y se genera bajo la siguiente regla: para cada nueva entrada si el número anterior es la primera vez que aparece entonces la entrada es cero, si ya había aparecido el valor de la entrada es la diferencia positiva entre las dos últimas posiciones en la sucesión donde aparecía el elemento anterior.

Se ha probado que la sucesión tiene un numero infinito de ceros.

Se conjetura que en la sucesión aparecen todos los números naturales.

También, se conjetura que con excepción de la pareja 1,1 aparecen como parejas consecutivas todos los números enteros positivos. Si apareciera en algún momento 1,1 se tendría que la sucesión estaría compuesta exclusivamente por unos, lo cual contradice el hecho que se inicializa en cero.

En Mathematica

Generación de los primeros 200 elementos de la sucesión.

eck = {0}; m = 200;
Do[AppendTo[eck, 
  If[FreeQ[Drop[eck, -1], Last[eck]], 0, 
   n - Last@Flatten@Position[Drop[eck, -1], Last[eck]]]], {n, m}]
eck

{0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 6, 0, 5, 0, 2, 6, 5, 4, 0, 5, 3, 0, 3, 2, 9, 0, 4, 9, 3, 6, 14, 0, 6, 3, 5, 15, 0, 5, 3, 5, 2, 17, 0, 6, 11, 0, 3, 8, 0, 3, 3, 1, 42, 0, 5, 15, 20, 0, 4, 32, 0, 3, 11, 18, 0, 4, 7, 0, 3, 7, 3, 2, 31, 0, 6, 31, 3, 6, 3, 2, 8, 33, 0, 9, 56, 0, 3, 8, 7, 19, 0, 5, 37, 0, 3, 8, 8, 1, 46, 0, 6, 23, 0, 3, 9, 21, 0, 4, 42, 56, 25, 0, 5, 21, 8, 18, 52, 0, 6, 18, 4, 13, 0, 5, 11, 62, 0, 4, 7, 40, 0, 4, 4, 1, 36, 0, 5, 13, 16, 0, 4, 8, 27, 0, 4, 4, 1, 13, 10, 0, 6, 32, 92, 0, 4, 9, 51, 0, 4, 4, 1, 14, 131, 0, 6, 14, 4, 7, 39, 0, 6, 6, 1, 12, 0, 5, 39, 8, 36, 44, 0, 6, 10, 34, 0, 4, 19, 97, 0, 4, 4, 1, 19, 6, 12, 21, 82, 0, 9, 43, 0, 3}

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Frase Célebre de Arturo Santana Pineda

El que domina las matemáticas
piensa, razona, analiza  y por ende
actúa con lógica en la vida cotidiana,
por tanto, domina el mundo.

Arturo Santana Pineda

Números Primos de Sheldon

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El episodio número 73 de la serie The Big Bang Theory es desde hace tiempo especial para los matemáticos. «¿Cuál es el mejor número de todos?», pregunta Sheldon a Raj, Howard y Leonard. «Por cierto, solo hay una respuesta correcta», les advierte.«El mejor número es el 73 », acaba contestando el brillante pero impertinente físico. La explicación que sigue es un festín para los amantes de los números : «El 73 es el número primo 21. Al invertir sus cifras obtenemos 37, que es el primo número 12. Y al invertir este obtenemos 21, que es el producto de ¡agarraos fuerte! 7 y 3 ». Pero lo que provocó la risa en los otros personajes de la serie y en muchos espectadores hizo reflexionar a los matemáticos.¿Existen otros «primos de Sheldon» con esas características?

Ahora, el experto en teoría de números Carl Pomerance, de la Universidad Dartmouth en Nuevo Hampshire, y el matemático Christopher Spicer, de la Universidad Morningside en Iowa, han dado con la respuesta: en efecto, el 73 es el único número primo que satisface todas las características descritas por Sheldon.

En 2015, cinco años después de la emisión del episodio de The Big Bang Theory, Spicer y otros dos investigadores introdujeron la definición de «primo de Sheldon»: el n-ésimo número primo p(n) será un primo de Sheldon si cumple que el producto de sus dígitos es n y si, además, el número que se obtiene al invertir sus cifras, rev(p(n)), es el rev(n)-ésimo número primo; es decir, si rev(p(n))=p(rev(n)). En términos algo más sencillos, si abcd es el xyz-ésimo número primo (cada letra es aquí un dígito), diremos que abcd es un primo de Sheldon si cumple que a*b*c*d = xyz y si, además, dcba es el zyx-ésimo número primo.

Spicer y sus colaboradores se dispusieron a comprobar si tales condiciones se cumplían para los primeros diez millones de primos. Al hacerlo, hallaron que solo el 73 satisfacía ambas propiedades a la vez. Eso les llevó a conjeturar que el 73 sería el único primo de Sheldon. No obstante, la prueba final de Pomerance y Spicer aún tardaría varios años en llegar.

En el nuevo trabajo, los matemáticos comienzan observando que no puede existir ningún primo de Sheldon mayor que 10^45. Esta conclusión se deduce de un famoso resultado de 1896 conocido como «teorema de los números primos», el cual permite acotar la cantidad mínima de números primos que puede haber en un intervalo dado. Dicho teorema implica que unas de las condiciones de Sheldon: que el producto de los dígitos de p(n) dé como resultado n, ya no puede cumplirse para números mayores que 10^45. Ello se debe a que, si p(n) es mayor que 10^45, el número n de primos comprendidos en el intervalo [2, p(n)] siempre será mayor que el producto de los dígitos de p(n).

Dicha conclusión constituye uno de los puntos centrales del trabajo, ya que, aunque 10^45 sea un número inimaginablemente grande, se trata de una cantidad finita. Eso significa que, al menos en principio, bastaría con usar un ordenador para examinar sistemáticamente todos los números primos comprendidos entre 2 y 10^45 y comprobar si entre ellos hay o no otros primos de Sheldon.

No obstante, algo así continúa siendo impracticable si no se dispone de ningún truco para simplificar el problema: un algoritmo capaz de analizar números de 45 dígitos constituye todo un reto incluso para las mejores máquinas. Así las cosas, Pomerance y Spicer fueron reduciendo el número de candidatos mediante varias técnicas, como el uso de integrales para aproximar números primos extremadamente grandes. De esta manera consiguieron reducir gradualmente el número de posibilidades hasta que, al final, solo quedó el 73.

Cuando David Saltzberg, físico y asesor científico de The Big Bang Theory, se enteró de la demostración de los investigadores, decidió rendirles un pequeño homenaje: en un episodio emitido en abril de este año hay una escena en la que al fondo aparece una pizarra y, si el espectador se fija con atención, podrá ver en ella algunos de los cálculos de la demostración de Pomerance y Spicer. «Es como un espectáculo dentro de un espectáculo», ha comentado Pomerance en declaraciones recogidas por la Universidad Dartmouth. «No tiene nada que ver con la trama del episodio. Aparece al fondo y es difícil de ver. Pero si sabes lo que buscas, descubres nuestro artículo.»

Tomado de la Revista Investigación y Ciencia, del 29 de mayo de 2019, Aquí.

En Mathematica

Ellos probaron inicialmente que el único Primo de Sheldon  entre los primeros diez millones de primos es el 73, realicemos esta comprobación.

Veamos propiedad por propiedad:

La primera propiedad es que el producto de sus dígitos sea igual a la posición del primo en la lista de los números primos.

Encontremos los números que la satisfacen entre los primeros diez millones de números primos:

amy = {};
Do[If[Apply[Times, IntegerDigits[Prime[n]]] == n, 
  AppendTo[amy, Prime[n]]], {n, 10000000}]
amy

{17, 73, 2475989}

Únicamente tres satisfacen esta primera propiedad.

La segunda propiedad, es que al invertir el orden de sus dígitos corresponde también a un número primo que se encuentra en la posición del orden inverso de los dígitos de la posición del número inicial.

determinamos la posición en la lista de los números primos de cada uno de los números de la lista amy:

cooper = PrimePi[amy]

{7, 21, 181440}

definimos la función rev[n] que invierte el orden de los dígitos de un número:

rev[n_] := FromDigits@Reverse@IntegerDigits[n]

Ahora, buscamos entre los  números de la lista amy, cuales cumplen con esta segunda propiedad :

Do[If[rev[Prime[cooper[[n]]]] == Prime[rev[cooper[[n]]]], 
  Print[Prime[cooper[[n]]]]], {n, Length[cooper]}]

73

Así, comprobando para los primeros diez  millones de primos tenemos que el único número que satisface ambas propiedades es el 73. 

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