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Distancia media de dos puntos en un cuadrado unitario

martes, 27 de agosto de 2019

Sucesión Look and Say


Observe esta sucesión : 

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, ...

¿Cuál es el siguiente término?

Esta sucesión fue popularizada por el matemático británico John Horton Conway. En un interesante video el propio Conway relata como un alumno le propuso un acertijo consistente en descubrir el próximo número de la sucesión: 1, 11, 21, 1211, . . .

Puesto que el entonces profesor de Cambridge no supo continuar inmediatamente, el alumno escribió el siguiente elemento de la sucesión : 111221

El profesor seguía sin adivinar cómo continuaba la sucesión, así que el alumno le proporcionó el siguiente término : 312211.

Como relata el propio Conway : "I knew for the way he was saying it that, somehow, I was supposed to be able to guess.I still didn' t[\[Ellipsis]] in the end he had to tell me". El acertijo planteado por este alumno, actualmente se denomina sucesión look and say con raíz (primer término) el número 1.

Veamos otro ejemplo similar usando otra raíz. Consideremos una cadena de números naturales, por ejemplo : 2 4
Esta cadena se puede describir verbalmente como : "un dos y un cuatro"; es decir : 1 2 1 4 que, a su vez, se puede describir verbalmente como "un uno, un dos, un uno y un cuatro"; 
es decir : 1 1 1 2 1 1 1 4

Una vez descubierta la regularidad podemos pensar que nos encontramos, citando de nuevo a Conway ante "the stupidest problem you could conceivably imagine, that led to the most complicated answer that you could conceivably imagine".  

De hecho, en 1986 se publicó el trabajo The weird and wonderful chemistry of audioactive decay (Conway, 1986) en el que el autor realiza un estudio de las sucesiones look and say. Las sucesiones look and say admiten una modificación muy sencilla que da lugar a las que denominaremos versión modificada de las sucesiones look and say o sucesiones look and say ordenadas. En este caso, cada elemento de la sucesión es el número obtenido como descripción verbal del anterior, pero contando primero el número total del dígito más pequeño, luego el total del dígito siguiente y así sucesivamente. Por ejemplo, consideremos nuevamente como primer término el 24. La descripción verbal de esta cadena es : "un dos y un cuatro". Por tanto el segundo término de la sucesión vuelve a ser, como antes, 1214. Ahora, a diferencia de la sucesión look and say original, la descripción verbal es "dos unos, un dos y un cuatro" por lo que el término siguiente es justamente 211214. A pesar de las claras similitudes existentes, las sucesiones look and say ordenadas difieren en muchos aspectos de las sucesiones look and say originales. La principal diferencia es que las sucesiones ordenadas se "estabilizan" siempre (Bronstein y Fraenkel, 1994), esto es, después de un número finito de términos, toda sucesión look and say ordenada presenta ciclos periódicos de longitud finita.

En Mathematica

Generamos la función con[ ], que determina la lectura de los dígitos de un número expresado como la lista de sus dígitos.

con[lis_] := 
 Module[{list, cuen = {}, m = 0}, list = Append[lis, 0]; 
  Do[If[list[[n]] == list[[n + 1]], m++, 
    AppendTo[cuen, {m + 1, list[[n]]}]; m = 0], {n, Length[lis]}]; 
  Flatten[cuen]]

Por ejemplo, para las listas de los dígitos del número 11221332221, tenemos:

aa = {1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 1};
con[aa]

{3, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 1}

que corresponde a: tres 1, dos 2, un 1, dos 3, tres 2 y un 1.

Generando los primeros 15 términos de la sucesión look and say con raíz (término inicial) 1,

Map[FromDigits, NestList[con, {1}, 15]]

{1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211,
31131211131221, 13211311123113112211, 11131221133112132113212221,
3113112221232112111312211312113211,
1321132132111213122112311311222113111221131221,
11131221131211131231121113112221121321132132211331222113112211,
311311222113111231131112132112311321322112111312211312111322212311322113212221, 
132113213221133112132113311211131221121321131211132221123113112221131112311332111213211322211312113211}



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martes, 20 de agosto de 2019

Frase Célebre de Serge Haroche

Tienes que cometer errores pero no todo el tiempo!
También tienes que aprender de los errores.

Serge Haroche

lunes, 12 de agosto de 2019

Comando Polyhedron


Este comando aparece desde la versión 12, última al momento, sirve para la construcción de un sólido compuesto por caras poligonales.

Su sintaxis es sencilla, se compone de dos argumentos: el primero es la lista de los vértices del poliedro, y el segundo es una lista compuesta por la listas de las posiciones de acuerdo a la lista de vértices de los vértices que componen cada lado del poliedro.

Por ejemplo, deseamos construir una caja sin tapa de lado una unidad, podemos tomar como vértices los puntos:

vertices = {{0, 0, 0}, {1, 0, 0}, {1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1},               {1, 0, 1}, {1, 1, 1}, {0, 1, 1}};

donde los cuatro primeros son los vértices de la base y los cuatro últimos son los vértices que formarían la tapa si la tuviera.

Graphics3D[{{Red, 
   Point[vertices]}, {Table[
    Text[Style[n, Large], vertices[[n]]], {n, 8}]}}]




Ahora, la base está formada por los lados {1, 2, 3, 4} de la lista vertices. El lado del fondo por los vértices {3,4,8,7} de la lista de vertices, el lado de enfrente por los vértices {1,2,6,5}, el lado izquierdo por los vértices {1,4,8,5} y el lado derecho por los vértices {2,3,7,6}. Estas listas indican los vértices que forman cada arista, borde de cada lado.

 Así, formamos la lista:

lados = {{1, 2, 3, 4}, {3, 4, 8, 7}, {1, 2, 6, 5}, 
{1, 4, 8, 5},  {2, 3, 7, 6}};

El poliedro corresponde a :

dado = Polyhedron[vertices, lados]






Al graficarlo corresponde a:


Graphics3D[{Opacity[0.5], dado}]



Caja de lados cuadrados sin tapa.

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martes, 6 de agosto de 2019

Frase Célebre de Carl Sagan

No hablar sobre ciencia me parece perverso...
cuando uno se enamora
se lo quiere gritar a todo el mundo.

Carl Sagan