Frase Célebre de Carl Sagan

En algún lugar algo increíble
está esperando ser descubierto.

Carl Sagan

Optimizando el cruce de un río

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Un hombre desea ir desde el punto A hasta el punto B atravesando un río de orillas paralelas y rectas de tres kilómetros de ancho. La orilla del río entre C, proyección perpendicular del punto A sobre el río, y B es de ocho kilómetros.

Determinar la ubicación del punto P, en términos de la distancia X al punto C, tal que si la velocidad nadando por el río de A a P es Vn y la velocidad corriendo por la orilla del río de P a B es Vc el tiempo sea mínimo.

Graphics[{{LightBlue, Rectangle[{0, 0}, {8, 1}]}, {PointSize[0.01], 
   Point[{0, 1}], Point[{0, 0}], Point[{8, 1}], Point[{4, 1}]}, 
  Text["P", {4, 1.2}], Text["A", {-0.2, -0.2}], 
  Text["C", {-0.2, 1.2}], 
  Text["Nadando", {2, 0.6}, Automatic, {4, 1}], 
  Text["Corriendo", {6, 1.2}], Text["X", {2, 1.3}], 
  Text["B", {8, 1.2}], Text["8 Kms.", {4, -1}], 
  Text["3 Km.", {9, 0.5}], {Arrowheads[Small], 
   Arrow[{{0, -0.5}, {8, -0.5}}]}, {Arrowheads[0.02, -0.01], 
   Arrow[{{0, 1.2}, {3.9, 1.2}}]}, {Arrowheads[Small], 
   Arrow[{{8.5, 0}, {8.5, 1}}]}, {Red, 
   Line[{{0, 0}, {4, 1}, {8, 1}}]}}, Axes -> False]

Sabemos que velocidad es espacio sobre tiempo por tanto tiempo es igual a distancia sobre velocidad, y el tiempo total es la suma de los dos tiempos empleados nadando y corriendo.

El tiempo en función de X está dado por:

El tiempo mínimo es:

Tomamos la solución positiva, y al calcularla en T, obtenemos:

Si la velocidad nadando Vn es mayor o igual que la velocidad corriendo Vc, la solución es nadar directo de A hasta B. Así vamos a suponer que Vc > vn.

En el siguiente aplicativo vamos a manipular las velocidades y la posición del punto P, y cuando lo deseemos nos va a mostrar en ambas gráficas el punto mínimo donde se debe ubicar P.

Observemos, antes de activar la ubicación del punto mínimo, el comportamiento de la gráfica del tiempo vs. la distancia X conforme cambiamos las velocidades e intentemos predecir el comportamiento del punto mínimo al variar las velocidades. Luego activemos el punto mínimo y corroboremos nuestras predicciones.



Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas

Frase Célebre de Mickaël Launay

Debemos enseñar matemáticas 
que tengan sentido para los estudiantes.

Mickaël Launay

Números Polidivisibles

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Un número cuyas cifras son abcd... se dice polidivisible (en base 10) si cumple las siguientes condiciones :
 ✪ a no es cero,
 ✪ ab es múltiplo de 2
 ✪ abc es múltiplo de 3
 ✪ abcd es múltiplo de 4
 ✪ y así sucesivamente . . .

Por ejemplo, el 426 es polidivisible, ya que 4 no es 0, el número 42 es múltiplo de 2 y el número 426 es múltiplo de 3. Pero 435 no lo es, ya que 43 no es múltiplo de 2.

Un resultado importante para la construcción de los números polidivisibles es: Si un número de dos o más cifras es polidivisible sus primeros dígitos forman también un número polidivisible.

En Mathematica

Definimos la función poli[n] que genera los números polidivisibles con n dígitos, que está definida por recurrencia: definimos poli[1] como los números de 1 a 9, pues ellos cumplen la primera propiedad para ser polidivisibles (no ser cero), y los demás en términos del anterior agregándole una cifra al final y comprobando si es divisible por su número de cifras.

poli[1] = Range[9];
poli[n_] := 
 Module[{aa = poli[n - 1]}, 
  Select[Flatten@
    If[EvenQ[n], 
     Table[FromDigits[Join[IntegerDigits[aa[[k]]], {p}]], {k, 
       Length[aa]}, {p, 0, 8, 2}], 
     Table[FromDigits[Join[IntegerDigits[aa[[k]]], {p}]], {k, 
       Length[aa]}, {p, 0, 9}]], Divisible[#, n] &]]

Cantidad de números polidivisibles por cada cantidad de dígitos:

Table[{n, Length[poli[n]]}, {n, 30}] // TableForm

poli[25]
{3608528850368400786036725}


Hay 20456 números polidivisibles (en base 10), el más grande de todos ellos es el número

3608528850368400786036725

que es de 25 cifras.

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Frase Célebre de Paul Hoffman

Las matemáticas son el camino a la inmortalidad.
Si usted hace un gran descubrimiento en matemáticas,
será recordado después de que todos los demás serán olvidados.

Paul Hoffman