Integración Tabular

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Las integrales que son de la forma : Un polinomio por una función que sea integrable tantas veces como el grado del polinomio, se pueden resolver aplicando reiteradamente el método de Integración por Partes eligiendo al polinomio como la función a derivar, esto se denomina Integración Tabular.

En el siguiente código definimos la función con tres argumentos: ParT[polinomio,función,variable] para realizar el método de integración tabular:

flecha[p_, q_] := {Red, Opacity[0.5], Arrowheads[{{0, 0}, {.05, 1}}], 

  Arrow[{p, q}]}

ParT[po_, fu_, var_] := 

 Module[{n, pp, pol, fun}, 

  If[PolynomialQ[po, 

    var], {pol, fun} = {po, fu}, {pol, fun} = {fu, po}]; 

  n = Exponent[pol, var] + 1; int[func_] := Integrate[func, var]; 

  pp = NestList[int, fun, n];

  Column[{Graphics[{Table[

       flecha[{3, 0.5 - k}, {5, -0.5 - k}], {k, n}], 

      Table[Text[D[pol, {var, k}], {2, -0.5 - k}], {k, 0, n}], 

      Table[Text[pp[[k]], {6, 0.5 - k}], {k, n + 1}], {Text[

        "Polinomio a Derivar", {2, 0.5}], 

       Text["Función a Integrar", {6, 0.5}]}, 

      Table[Line[{{4 i, 1}, {4 i, -(n + 1)}}], {i, 0, 2}], 

      Table[Line[{{0, 1 - i}, {8, 1 - i}}], {i, 0, n + 2}], 

      Table[Text[

        Style[If[OddQ[k], "-", "+"], Large, 

         Green], {3.8, -0.6 - k}], {k, 0, n - 1}]}, 

     PlotRange -> {{0, 8.1}, {-(n + 2), 1}}, ImageSize -> Medium], 

    "de donde:", "",

    Row[{Defer[TraditionalForm[\[Integral]po fu \[DifferentialD]var]],

       " = ", 

      Row@Table[

        Row[{Style[Text[If[OddQ[k], "-", "+"]], Green], "(", 

          D[pol, {var, k}], ")", "(", pp[[k + 2]], ")"}], {k, 0, 

         n - 1}]}]

    , "", "Simplificando:", "", 

    Row[{Defer@TraditionalForm[\[Integral]po fu \[DifferentialD]var], 

      " = ", Integrate[pol fun, x]}]}]]

Ejemplo

Calcular  ∫ ( x⁸+x³ ) Sen(x) dx

Operamos:

ParT[x^8 + x^3, Sin[x], x]

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