Funciones Trigonométricas

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Definición de las funciones Trigonométricas 

Definición de las funciones trigonométricas sobre el circulo unitario.

g1 = ContourPlot[{x^2 + y^2 == 1}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, Axes -> True]; s = 2; Manipulate[ Show[g1, Graphics[{Text["\[Theta]", 0.3 {Cos[a/2], Sin[a/2]}], Line[{{0, 0}, s Sign[Cos[a]] {1, Tan[a]}}], {Dashed, Circle[{0, 0}, 0.2, {0, a}], Line[{{0, 0}, -s Sign[Cos[a]] {1, Tan[a]}}], Switch[fun, seno, Line[{{Cos[a], 0}, {0, 0}}], coseno, Line[{{Cos[a], 0}, {Cos[a], Sin[a]}}], tangente, Line[{{1, -2}, {1, 2}}], cotangente, Line[{{-2, 1}, {2, 1}}], secante, Line[{{1, -2}, {1, 2}}], cosecante, Line[{{-2, 1}, {2, 1}}]]}, Red, Point[{Cos[a], Sin[a]}], Thickness[0.01], Switch[fun, seno, Line[{{Cos[a], 0}, {Cos[a], Sin[a]}}], coseno, Line[{{Cos[a], 0}, {0, 0}}], tangente, Line[{{1, 0}, {1, Tan[a]}}], cotangente, Line[{{0, 1}, {Cot[a], 1}}], secante, Line[{{0, 0}, {1, Tan[a]}}], cosecante, Line[{{0, 0}, {Cot[a], 1}}]]}]], {{a, Pi/4, "θ"}, 0, 2 Pi}, {{fun, seno, "Función"}, {seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante}, ControlType -> Setter}]

Construcción de las Gráficas

g1 = ContourPlot[{x^2 + y^2 == 1}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, Axes -> True]; s = 1.9; Manipulate[ Switch[fun, seno, ff = Sin, coseno, ff = Cos, tangente, ff = Tan, cotangente, ff = Cot, secante, ff = Sec, cosecante, ff = Csc]; linea[ff_] := Line[{{a + 2, 0}, {a + 2, ff[a]}}]; Show[Plot[ff[x - 2], {x, 2, 2.00001 + a}, PlotRange -> {{-2.1, 9}, {-4.5, 4.5}}, Ticks -> {{{2 + Pi/2, Pi/2}, {2 + Pi, Pi}, {2 + 3 Pi/2, 3 Pi/2}, {2 + 2 Pi, 2 Pi}}, {-1, 1}}, AspectRatio -> 1], g1, Graphics[{Arrow[{{2, -4}, {2, 4}}], Arrow[{{1.5, 0}, {9, 0}}], Text["\[Theta]", {8.8, 0.2}], Text["\[Theta]", 0.3 {Cos[a/2], Sin[a/2]}], {Green, PointSize[0.02], Point[{Cos[a], Sin[a]}], Point[{a + 2, 0}]}, Line[{{0, 0}, s Sign[Cos[a]] {1, Tan[a]}}], {Dashed, Circle[{0, 0}, 0.2, {0, a}], Line[{{0, 0}, -s Sign[Cos[a]] {1, Tan[a]}}], Switch[fun, seno, Line[{{Cos[a], 0}, {0, 0}}], coseno, Line[{{Cos[a], 0}, {Cos[a], Sin[a]}}], tangente, Line[{{1, -2}, {1, 2}}], cotangente, Line[{{-2, 1}, {2, 1}}], secante, Line[{{1, -2}, {1, 2}}], cosecante, Line[{{-2, 1}, {2, 1}}]]}, Red, Thickness[0.01], linea[ff], Switch[fun, seno, Line[{{Cos[a], 0}, {Cos[a], Sin[a]}}], coseno, Line[{{Cos[a], 0}, {0, 0}}], tangente, Line[{{1, 0}, {1, Tan[a]}}], cotangente, Line[{{0, 1}, {Min[Cot[a], 4.5], 1}}], secante, Line[{{0, 0}, {1, Tan[a]}}], cosecante, Line[{{0, 0}, {Cot[a], 1}}]]}], AspectRatio -> Automatic], {{a, Pi/4, "θ"}, 0.000001, 2 Pi}, {{fun, seno, "Función"}, {seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante}, ControlType -> Setter}, ContentSize -> {400, 500}]

Representación de las funciones trigonométricas

Manipulate[ Show[Plot[f[x], {x, -2 Pi, 2 Pi}, PlotRange -> 3, Ticks -> {{-2 Pi, -3 Pi/2, -Pi, -Pi/2, Pi/2, Pi, 3 Pi/2, 2 Pi}, {-1, 1}}], ContourPlot[{y == 1, y == -1, x == 0, x == -Pi/2, x == Pi/2, x == -Pi, x == Pi, x == -3 Pi/2, x == 3 Pi/2}, {x, -2 Pi, 2 Pi}, {y, -3, 3}, ContourStyle -> {{Dashed, LightRed}}]], {f, {Sin, Cos, Tan, Cot, Sec, Csc}, ControlType -> Setter}]

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Frase Célebre de Roger Bacon

Las matemáticas son 
la puerta y la llave de las ciencias.

Roger Bacon

Juego del Caos - Triángulo de Sierpinski

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El matemático Británico Michael Barnsley en 1988 dio a conocer el siguiente proceso. Se parte de tres puntos en una hoja P, Q y R no colineales, no sobre la misma recta, (que llamaremos vértices) y otro punto X (que llamaremos punto de partida), se considera un dado que tiene tres resultados igualmente posibles: P, Q y R. Si el resultado es P nos dirigimos desde X hasta P pero nos quedamos a mitad de camino y allí marcamos punto, si es Q del punto que acabamos de marcar inmediatamente nos dirigimos a Q y también nos quedamos a mitad de camino y allí marcamos punto, y si es R dirigiéndonos a R desde el último punto marcamos a mitad de camino, y así sucesivamente. El resultado que se obtiene al realizar un número considerable de veces este proceso es sorprendente, es el Triángulo de Sierpinski.

A diferencia de otras publicaciones ya realizadas donde se mencionaba este procedimiento, vamos a realizar el procedimiento paso a paso. Primero lanzando el dado y dibujando el punto correspondiente, volviendo a lanzar el dado y así permitiendo realizar el proceso punto a punto, pero también se da la posibilidad de realizarlo de cien en cien puntos.

En Mathematica

lista = {}; n = 1; aa = "P";
Manipulate[If[n == 1, AppendTo[lista, s]]; vertices = {p, q, r}; 
 siguiente[punto_] := (vertices[[cc]] + punto)/2; 
 ran := RandomChoice[{0.33, 0.33, 0.34} -> {1, 2, 3}, 1][[1]];
 sig[punto_] := (vertices[[ran]] + punto)/2; 
 Show[Graphics[{Text["P", p + {0.1, 0.1}], Text["Q", q + {0.1, 0.1}], 
    Text["R", r + {0.1, 0.1}]}, PlotRange -> 2], 
  ListPlot[lista, PlotStyle -> {Red, PointSize[0.005]}]], 
 Text["Dado"], 
 Button[Dynamic[aa], cc = ran; 
  aa = Switch[cc, 1, "P", 2, "Q", 3, "R"]], 
 Text["Generación de Puntos"], Text["Uno por Uno"], 
 Button["Acción", n++; 
  AppendTo[lista, Nest[siguiente, Last[lista], 1]]; n++], 
 Text["Cien en Cien"], 
 Button["Continua", pp = NestList[sig, p, 100]; 
  lista = Join[lista, pp]], {{p, {1, 1}}, Locator}, {{q, {-1, 1}}, 
  Locator}, {{r, {-1, -1}}, Locator}, {{s, {2, 2}}, Locator, 
  Appearance -> "X"}]

Primeros pasos, se lanza el dado y luego se genera la acción

Algunos pasos más

Generando puntos de cien en cien

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Frase Célebre de Isaac Asimov

El aspecto más triste de la vida actual
es que la ciencia gana en conocimiento
más rápidamente que la sociedad en sabiduría.

Isaac Asimov

Integración Tabular

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Las integrales que son de la forma : Un polinomio por una función que sea integrable tantas veces como el grado del polinomio, se pueden resolver aplicando reiteradamente el método de Integración por Partes eligiendo al polinomio como la función a derivar, esto se denomina Integración Tabular.

En el siguiente código definimos la función con tres argumentos: ParT[polinomio,función,variable] para realizar el método de integración tabular:

flecha[p_, q_] := {Red, Opacity[0.5], Arrowheads[{{0, 0}, {.05, 1}}], 

  Arrow[{p, q}]}

ParT[po_, fu_, var_] := 

 Module[{n, pp, pol, fun}, 

  If[PolynomialQ[po, 

    var], {pol, fun} = {po, fu}, {pol, fun} = {fu, po}]; 

  n = Exponent[pol, var] + 1; int[func_] := Integrate[func, var]; 

  pp = NestList[int, fun, n];

  Column[{Graphics[{Table[

       flecha[{3, 0.5 - k}, {5, -0.5 - k}], {k, n}], 

      Table[Text[D[pol, {var, k}], {2, -0.5 - k}], {k, 0, n}], 

      Table[Text[pp[[k]], {6, 0.5 - k}], {k, n + 1}], {Text[

        "Polinomio a Derivar", {2, 0.5}], 

       Text["Función a Integrar", {6, 0.5}]}, 

      Table[Line[{{4 i, 1}, {4 i, -(n + 1)}}], {i, 0, 2}], 

      Table[Line[{{0, 1 - i}, {8, 1 - i}}], {i, 0, n + 2}], 

      Table[Text[

        Style[If[OddQ[k], "-", "+"], Large, 

         Green], {3.8, -0.6 - k}], {k, 0, n - 1}]}, 

     PlotRange -> {{0, 8.1}, {-(n + 2), 1}}, ImageSize -> Medium], 

    "de donde:", "",

    Row[{Defer[TraditionalForm[\[Integral]po fu \[DifferentialD]var]],

       " = ", 

      Row@Table[

        Row[{Style[Text[If[OddQ[k], "-", "+"]], Green], "(", 

          D[pol, {var, k}], ")", "(", pp[[k + 2]], ")"}], {k, 0, 

         n - 1}]}]

    , "", "Simplificando:", "", 

    Row[{Defer@TraditionalForm[\[Integral]po fu \[DifferentialD]var], 

      " = ", Integrate[pol fun, x]}]}]]

Ejemplo

Calcular  ∫ ( x⁸+x³ ) Sen(x) dx

Operamos:

ParT[x^8 + x^3, Sin[x], x]

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