Introducción a los Límites

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Ejemplo 1

Dada la función

sabemos que su dominio son los reales excepto x = 2, si necesitamos re definir la función para que tenga un valor "adecuado" en 2, veamos como se comporta en los valores cercanos:

TableForm[Table[{x, (x^2 - 4)/(x - 2)}, {x, 1.9, 2.1, 0.05}], 

 TableHeadings -> {None, {"x", "f(x)"}}]

Más cercanos :

TableForm[Table[{x, (x^2 - 4)/(x - 2)}, {x, 1.95, 2.05, 0.01}], 

 TableHeadings -> {None, {"x", "f(x)"}}]

Aún más cercanos :

TableForm[Table[{x, (x^2 - 4)/(x - 2)}, {x, 1.99, 2.01, 0.001}], 

 TableHeadings -> {None, {"x", "f(x)"}}]

Podemos conjeturar que el valor más adecuado para redefinir la función f(x) en x = 2 es 4. Por tanto:

Ahora, vamos a pensar al contrario :

De alguna forma conjeturamos (suponemos) que el valor más adecuado para redefinir la función en x=2 es 4, pero no estamos seguros, entonces vamos a ver sí cada vez que consideremos valores más cercanos a 4 en el eje Y siempre estos valores corresponden a valores más cercanos a 2 en el eje X.

Esto lo logramos considerando un intervalo en el eje Y: (4 - ∈, 4 + ∈ ), y proyectando este intervalo sobre el eje X, utilizando la función f(x) para reflejarlo, obtenemos un intervalo abierto que contiene al punto 2.

Si tomamos un valor cualquiera del intervalo sobre el eje X, diferente de 2, y lo calculamos en la función, sí cae dentro del intervalo en el eje Y podemos asegurar que 4 es el valor ideal para redefinir f(x) en x = 2.

Manipulate[t = RandomReal[]; 

 Show[Plot[(x^2 - 4)/(x - 2), {x, 0, 5}, Axes -> True, 

   AxesOrigin -> {0, 0}, AspectRatio -> 1, 

   PlotRange -> {{0, 5}, {0, 5}}], 

  Graphics[{{Black, PointSize[0.02], Point[{2, 4}]}, {White, 

     PointSize[0.01], Point[{2, 4}]}, {Dashed, Red, 

     Line[{{2, 0}, {2, 4}, {0, 4}}]}, {Pink, Opacity[0.5], 

     Polygon[{{0, 4 + e}, {0, 4 - e}, {2 - e, 4 - e}, {2 - e, 

        0}, {2 + e, 0}, {2 + e, 4 + e}, {0, 4 + e}}]}, {Blue, 

     Thickness[0.02], Line[{{0, 4 + e}, {0, 4 - e}}]}, {Green, 

     Thickness[0.02], 

     Line[{{2 - e, 0}, {2 + e, 0}}]}, {Text[

      "f(x) = (x^2-4)/(x-2)", {3.2, 4.7}]}, {Text["4 + ∈", {0.2, 4 + e}],

      Text["4 - ∈", {0.2, 4 - e}], Text[2 + e, {2.2 + e, 0.1}],

      Text[2 - e, {1.8 - e, 0.1}]}, {Dashed, Green, 

     If[ver, Line[{{2 - e + 2 e t, 0}, {2 - e + 2 e t, 

         4 - e + 2 e t}, {0, 4 - e + 2 e t}}]]}}]], {{e, 0.5, 

   "Epsilon: ∈"}, 1, 

  0.05}, {{ver, False, "Verificación"}, {False, True}}]

Ejemplo 2

La función

tiene por dominio

FunctionDomain[(3 - Sqrt[x^2 + 5])/(x^2 - 5 x + 6), x]

x < 2 || 2 < x < 3 || x > 3

los números reales excepto 2 y 3. Analizaremos primero que pasa en x=2.

Para x = 2:

Consideremos la tabla de valores,

TableForm[

 Table[{x, (3 - Sqrt[x^2 + 5])/(x^2 - 5 x + 6)}, {x, 1.99, 2.01, 

   0.001}], TableHeadings -> {None, {"x", "f(x)"}}]

observamos que el mejor valor posible para la función en x = 2 corresponde a 0.6666 = 2/3. Verifiquemos:

Manipulate[t = RandomReal[]; 

 aa = p /. 

   NSolve[(3 - Sqrt[p^2 + 5])/(p^2 - 5 p + 6) == 2/3 - e, p][[1]]; 

 bb = p /. 

   NSolve[(3 - Sqrt[p^2 + 5])/(p^2 - 5 p + 6) == 2/3 + e, p][[1]];

 cc = bb (1 - 2 t) + 4 t;

 Show[Plot[(3 - Sqrt[x^2 + 5])/(x^2 - 5 x + 6), {x, 0, 3}, 

   Axes -> True, AxesOrigin -> {0, 0}, AspectRatio -> 1, 

   PlotRange -> {{0, 4}, {0, 3}}], 

  Graphics[{{Black, PointSize[0.02], Point[{2, 2/3}]}, {White, 

     PointSize[0.01], Point[{2, 2/3}]}, {Dashed, Red, 

     Line[{{2, 0}, {2, 2/3}, {0, 2/3}}]}, {Pink, Opacity[0.5], 

     Polygon[{{0, 0.666 + e}, {0, 0.666 - e}, {aa, 0.666 - e}, {aa, 

        0}, {bb, 0}, {bb, 0.666 + e}, {0, 0.666 + e}}]}, {Blue, 

     Thickness[0.02], Line[{{0, 0.666 + e}, {0, 0.666 - e}}]}, {Green,

      Thickness[0.02], 

     Line[{{4 - bb, 0}, {bb, 0}}]}, {Text[

      "f(x) = (3-Sqrt[x^2+5])/(x^2-5x+6)", {3.4, 

       2.7}]}, {Text["2/3 + ∈", {0.2, 0.66 + e}], 

     Text["2/3 - ∈", {0.2, 0.66 - e}], 

     Text[bb, {bb + 0.2, 0.1}], 

     Text[4 - bb, {3.8 - bb, 0.1}]}, {Dashed, Green, 

     If[ver, Line[{{cc, 

         0}, {cc, (cc + 

            2)/((3 - cc) (3 + Sqrt[cc^2 + 5]))}, {0, (cc + 

            2)/((3 - cc) (3 + Sqrt[cc^2 + 5]))}}]]}}]], {{e, 0.5, 

   "Epsilon: ∈"}, 1, 

  0.05}, {{ver, False, "Verificación"}, {False, True}}]

El intervalo que se genera en el eje X tiene como centro a 2, y desde allí es que se toman los valores que al aplicarles la función caen dentro del intervalo con centro en 2/3 y radio ∈.

Para x = 3:

Consideremos la tabla

TableForm[

 Table[{x, (3 - Sqrt[x^2 + 5])/(x^2 - 5 x + 6)}, {x, 2.99, 3.01, 

   0.001}], TableHeadings -> {None, {"x", "f(x)"}}]

vemos que no existe un valor probable que se adecue para redefinir f(x) en x = 3.

Supongamos que asumimos que el valor probable sea 741

gra1 = Plot[(3 - Sqrt[x^2 + 5])/(x^2 - 5 x + 6), {x, 2, 4}, 

   Axes -> True, AspectRatio -> 1, 

   PlotRange -> {{2.9, 3.1}, {-1000, 1000}}];

Manipulate[

 Show[gra1, 

  Graphics[{{Dashed, Red, Line[{{3, 0}, {3, 741}, {0, 741}}]}, {Pink, 

     Opacity[0.5], 

     Polygon[{{0, 741 + e}, {0, 741 - e}, {2.998, 741 - e}, {2.998, 

        0}, {3, 0}, {3, 741 + e}, {0, 741 + e}}]}, {Blue, 

     Thickness[0.02], Line[{{0, 741 + e}, {0, 741 - e}}]}, {Green, 

     Thickness[0.02], 

     Line[{{2.999, 0}, {3.001, 0}}]}, {Text[

      "f(x) =(3-Sqrt[x^2+5])/(x^2-5x+6)", {3.05, 

       850}]}, {Text["741 + ∈", {3.9, 741 + e}], 

     Text["741 - ∈", {3.9, 741 - e}], 

     Text[bb, {bb + 0.2, 0.1}], 

     Text[4 - bb, {3.8 - bb, 0.1}]}, {Dashed, Green, 

     If[ver, {Line[{{2.999, 0}, {2.999, 741}, {0, 741}}], 

       Line[{{3.001, 0}, {3.001, -741}, {0, -741}}]}]}}]], {{e, 20, 

   "Epsilon: ∈"}, 50, 

  10}, {{ver, False, "Verificación"}, {False, True}}]

Si en el intervalo verde alrededor de x = 3, tomamos valores al lado izquierdo caen dentro del intervalo (741 - ∈,741 + ∈), pero si los tomamos del lado derecho caen cerca a -741.

Ejemplo 3.

Consideraremos ahora la función definida de forma seccional :

El dominio de f(x) es el intervalo cerrado [0,4], pero por la forma en que se definió es necesario analizar lo que ocurre en x = 2.

Definimos y graficamos f(x):

f[x_] := Piecewise[{{x, 0 < x < 2}, {x^2, 2 <= x < 4}}, None]

Plot[f[x], {x, 0, 4}]

Una tabla de valores cercanos a x = 2 :

TableForm[Table[{x, f[x]}, {x, 1.9, 2.1, 0.01}], 

 TableHeadings -> {None, {"x", "f(x)"}}]

Aquí, tenemos que f (2) = 4, pero qué ocurre cerca de 4 en el eje Y.

Manipulate[t = RandomReal[]; cc = 2 (1 - t) + t Sqrt[4 + e];

 dd = 2 + (2 - Sqrt[4 + e]) t; 

 Show[Plot[f[x], {x, 0, 3}, Axes -> True, AxesOrigin -> {0, 0}, 

   AspectRatio -> 1, PlotRange -> {{0, 3}, {0, 6}}], 

  Graphics[{{Black, PointSize[0.02], Point[{2, 4}]}, {Dashed, Red, 

     Line[{{2, 0}, {2, 4}, {0, 4}}]}, {Pink, Opacity[0.5], 

     Polygon[{{0, 4 + e}, {0, 4}, {2, 4}, {2, 0}, {Sqrt[4 + e], 

        0}, {Sqrt[4 + e], 4 + e}, {0, 4 + e}}]}, {Blue, 

     Thickness[0.02], Line[{{0, 4 + e}, {0, 4 - e}}]}, {Green, 

     Thickness[0.02], 

     Line[{{4 - Sqrt[4 + e], 0}, {Sqrt[4 + e], 0}}]}, {Text[

      "f(x)", {2.5, 5.7}]}, {Text["4 + ∈", {0.2, 4 + e}], 

     Text["4 - ∈", {0.2, 4 - e}], 

     Text[Sqrt[4 + e], {Sqrt[5 + e], 0.1}], 

     Text[4 - Sqrt[4 + e], {3.8 - Sqrt[4 + e], 0.1}]}, {Dashed, Green,

      If[ver, Line[{{cc, 0}, {cc, cc^2}, {0, cc^2}}], 

      Line[{{dd, 0}, {dd, dd}, {0, dd}}]]}}]], {{e, 0.5, 

   "Epsilon: ∈"}, 1, 

  0.05}, {{ver, False, "Verificación"}, {False, True}}]

Vemos que para valores a la izquierda de 2, esos valores dan fuera del intervalo (4 - ∈,4 + ∈).

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