Distancia media de dos puntos en un cuadrado unitario

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En el cuadrado unitario R = [0,1] × [0,1], deseamos determinar el promedio de las distancias de dos puntos tomados al azar. unitario.

El promedio de la longitud de todos los siguientes segmentos:

ss = 0; lin = {}; k = 0;

Manipulate[k++; If[k > 100, Break[]]; aa = RandomReal[1, {2, 2}]; 

 ss = ss + Apply[EuclideanDistance, aa]; AppendTo[lin, Line[aa]]; 

 Graphics[{Yellow, Rectangle[], Red, lin}, 

  PlotLabel -> Row[{"Promedio: ", (ss/k)}]], {n, 1, 10, Trigger}]

Calculamos el promedio de 100000 segmentos tomados de forma aleatoria en el cuadrado unitario., la respuesta tiende al número:

ss = 0; pro = {};

Do[ss = ss + Apply[EuclideanDistance, RandomReal[1, {2, 2}]]; 

  AppendTo[pro, ss/i], {i, 100000}];

Show[ListPlot[pro], 

 Plot[(Sqrt[2] + 2 + 5 Log[1 + Sqrt[2]])/15, {x, 0, 100000}, 

  PlotStyle -> Red]]

Veamos varias simulaciones, la línea roja es 0.286372 :

Para determinarlo de forma analítica, recordemos que el promedio de una función f del intervalo [a,b] en los reales es:

Así, la fórmula de la distancia es de los reales en cuarta dimensión y por tanto tomamos una integral cuádruple sobre un área de dimensión una unidad:   

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