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Distancia media de dos puntos en un cuadrado unitario

lunes, 27 de febrero de 2017

viernes, 24 de febrero de 2017

Números Vampiros


Introducidos en 1994 por Clifford A. Pickover, un número v es vampiro si :

1. tiene un número par n de cifras,
2. se obtiene al multiplicar dos enteros x e y (los colmillos del vampiro), ambos con n/2 dígitos,
3. los enteros x e y no terminan simultáneamente en ceros, y
4. v está formado por los dígitos de x e y, en cualquier orden y la misma cantidad.

Por ejemplo, 1260 es un número vampiro, pues con 21 y 60 se cumplen las cuatro condiciones anteriores.

En Mathematica

Buscamos números vampiros de 2, 4 y 6 cifras, y mostramos el Número Vampiro y sus dos colmillos:

vam = {};
SetSharedVariable[vam]
Do[ParallelDo[aaa = Permutations[IntegerDigits[n]]; 
  Do[If[FromDigits[aaa[[p, 1 ;; k/2]]]*
       FromDigits[aaa[[p, (k/2) + 1 ;; k]]] == n && 
     Nand[IntegerQ[FromDigits[aaa[[p, 1 ;; k/2]]]/10], 
      IntegerQ[FromDigits[aaa[[p, (k/2) + 1 ;; k]]]/10]], 
    AppendTo[
     vam, {n, FromDigits[aaa[[p, 1 ;; k/2]]], 
      FromDigits[aaa[[p, (k/2) + 1 ;; k]]]}]; n++], {p, 
    Length[aaa]}], {n, 10^(k - 1), 10^k - 1}], {k, 2, 6, 2}]
van

{{1395, 15, 93}, {1260, 21, 60}, {1435, 41, 35}, {1530, 51, 30}, {1827, 87, 21}, {2187, 27, 81}, {6880, 86, 80}, {102510, 201, 510}, {108135, 135, 801}, {104260, 401, 260}, {105210, 501, 210}, 
{105264, 516, 204}, {110758, 158, 701}, {105750, 150, 705}, 
{118440, 141, 840}, {120600, 201, 600}, {115672, 152, 761}, 
{116725, 161, 725}, {117067, 167, 701}, {123354, 231, 534}, 
{129640, 140, 926}, {124483, 281, 443}, {129775, 179, 725}, 
{125248, 152, 824}, {125433, 231, 543}, {125460, 246, 510}, 
{125500, 251, 500}, {131242, 311, 422}, {126027, 201, 627}, 
{132430, 323, 410}, {126846, 261, 486}, {133245, 315, 423}, 
{134725, 317, 425}, {135828, 588, 231}, {135837, 351, 387}, 
{136525, 635, 215}, {136948, 146, 938}, {145314, 414, 351}, 
{146137, 461, 317}, {140350, 401, 350}, {146952, 156, 942}, 
{152608, 251, 608}, {152685, 585, 261}, {153436, 356, 431}, 
{150300, 501, 300}, {156240, 651, 240}, {156289, 581, 269}, 
{156915, 165, 951}, {162976, 176, 926}, {163944, 396, 414}, 
{172822, 782, 221}, {173250, 750, 231}, {174370, 470, 371}, 
{180225, 801, 225}, {180297, 897, 201}, {175329, 759, 231}, 
{182250, 810, 225}, {182650, 281, 650}, {190260, 906, 210}, 
{192150, 915, 210}, {186624, 864, 216}, {193257, 327, 591}, 
{193945, 395, 491}, {201852, 252, 801}, {197725, 719, 275}, 
{205785, 255, 807}, {211896, 216, 981}, {213466, 341, 626}, 
{215860, 251, 860}, {216733, 671, 323}, {217638, 678, 321}, 
{218488, 248, 881}, {226498, 269, 842}, {226872, 276, 822}, 
{229648, 248, 926}, {233896, 338, 692}, {241564, 461, 524}, 
{245182, 422, 581}, {253750, 350, 725}, {254740, 542, 470}, 
{251896, 296, 851}, {260338, 323, 806}, {262984, 284, 926}, 
{263074, 602, 437}, {284598, 489, 582}, {284760, 420, 678}, 
{286416, 612, 468}, {296320, 926, 320}, {304717, 431, 707}, 
{312475, 431, 725}, {312975, 321, 975}, {315594, 534, 591}, 
{315900, 351, 900}, {319059, 351, 909}, {319536, 336, 951}, 
{326452, 623, 524}, {329346, 342, 963}, {329656, 356, 926}, 
{336550, 635, 530}, {336960, 360, 936}, {338296, 392, 863}, 
{346968, 366, 948}, {341653, 641, 533}, {361989, 369, 981}, 
{362992, 392, 926}, {365638, 686, 533}, {369189, 381, 969}, 
{368550, 630, 585}, {371893, 383, 971}, {378400, 800, 473}, 
{378418, 878, 431}, {378450, 870, 435}, {386415, 831, 465}, 
{384912, 891, 432}, {392566, 593, 662}, {404968, 446, 908}, 
{416650, 641, 650}, {414895, 491, 845}, {416988, 468, 891}, 
{428980, 482, 890}, {429664, 464, 926}, {447916, 476, 941}, 
{456840, 540, 846}, {457600, 704, 650}, {458640, 546, 840}, 
{475380, 570, 834}, {486720, 624, 780}, {489159, 891, 549}, 
{489955, 899, 545}, {498550, 845, 590}, {516879, 681, 759}, 
{529672, 572, 926}, {536539, 563, 953}, {538650, 855, 630}, 
{559188, 588, 951}, {567648, 657, 864}, {568750, 650, 875}, 
{629680, 680, 926}, {638950, 650, 983}, {673920, 720, 936}, 
{679500, 750, 906}, {729688, 788, 926}, {736695, 765, 963}, 
{738468, 876, 843}, {769792, 776, 992}, {789250, 875, 902}, 
{789525, 825, 957}, {792585, 927, 855}, {794088, 984, 807}, 
{809919, 891, 909}, {809964, 894, 906}, {815958, 858, 951}, 
{829696, 896, 926}, {841995, 891, 945}, {939658, 953, 986}}

Organizando la salida en una tabla:

TableForm[vam, 
 TableHeadings -> {None, {"vampiro", "colmillo 1", "colmillo 2"}}]




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martes, 21 de febrero de 2017

Frase Célebre de Alain Badiou

Las matemáticas fueron y siguen siendo muy importantes para la filosofía, porque son el ejemplo tipo de un lenguaje cuya Verdad es independiente del poder. Lo enunciado se demuestra o no se demuestra. No hay rey o clérigo que valga. Es, en cierto sentido, el primer pensamiento democrático, sometido a examen colectivo.


Alain Badiou

viernes, 17 de febrero de 2017

Conjetura de Pólya



Se debe al matemático húngaro George Pólya quien la formuló en 1919, él es famoso por dedicar la mayor parte de su vida productiva a enseñar como resolver problemas, es famoso su libro "Cómo plantear y resolver problemas" (How to solve it).

Diremos que un número es de tipo par si en su factorización en números primos aparecen un número par de primos. Por ejemplo, 6 = 2∙3 es un número de tipo par.

Y diremos que un número de de tipo impar si el número de primos de su factorización es impar. Por ejemplo, 18 = 2∙3∙3 es de tipo impar (se considera que 1 es de tipo par).

Sea n cualquier número natural.Consideremos los siguientes números :

   P (n) = número de enteros positivos menores o iguales que n que son de tipo par
   I (n) = número de enteros positivos menores o iguales que n que son de tipo impar

Por ejemplo consideremos n = 7.

En este caso: I (7) = 4 (el 2, el 3, el 5 y el propio 7) y P (7) = 3 (el 1, el 4 y el 6).

Entonces I (7) > P (7).Para n = 6 : I (6) = 3 y P (6) = 3. Por tanto I (6) = P (6).

En 1919 George Polya propuso el siguiente resultado, conocido desde entonces como conjetura de Polya :

Para todo n > 2 se tiene que I (n) es mayor o igual que P (n)

Nadie pudo dar una demostración de la veracidad o falsedad del enunciado, pero en los años posteriores se comprobó que era cierto para todo n hasta 1.000 .000, razón por la cual se pensaba que la conjetura era cierta ... pero no.

En 1958 C. B. Haselgrove demostró que la conjetura era falsa pero no determinó un contra ejemplo.

En 1960, R. S. Lehman encontró un contraejemplo : para n = 906180359 se tiene que:
 I (n) = P (n)₋1, y por tanto : I (906180359) < P (906180359)

El contraejemplo más pequeño que se conoce es el caso n = 906150257, encontrado por Tanaka en 1980.

Por tanto la conjetura de Polya es falsa.

En Mathematica

Definimos la función primos[] que nos da cuantos números primos tiene cada descomposición

primos[1] := 0; primos[n_] := Total@Last@Transpose@FactorInteger[n]

Pero Mathematica tiene definida la función PrimeOmega[] que nos da el número de factores primos teniendo  en cuenta multiplicidades, podemos definir cuando un número es e tipo par, como:

par[n_] := Length@Select[PrimeOmega[Range[n]], EvenQ]

Definimos la función de polya[ ], que nos da cero si es verdad la Conjetura de Polya

polya[n_] := If[par[n] <= n/2, 0, 1]

polya[10]
0

Una forma de buscar si hay números que la incumplan antes de un número dado

buscar[k_] := Total@Table[polya[n], {n, 2, k, 1}]

buscar[1000]
0

Calculando los dos primeros contra ejemplos que se tienen y con un largo tiempo de computo:

polya[906180359]
1

polya[906150257]
1

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martes, 14 de febrero de 2017

Frase Célebre de Neil DeGrasse Tyson

Hay gente que dice: "Nunca voy a necesitar las matemáticas" (...). Incluso puede que tú nunca hayas aprendido algo de matemáticas. Ahí está el truco: vayas o no a usar las matemáticas en tu vida, el hecho de que hayas sido capaz de entenderlas deja una huella en tu cerebro que no existía antes, y esa huella es la que te convierte en un solucionador de problemas.


Neil DeGrasse Tyson

viernes, 10 de febrero de 2017

Persistencia Multiplicativa


Se realiza el proceso de multiplicar los dígitos de un entero positivo, repitiendo hasta obtener un número de un único dígito. El número de veces que se repite el proceso se conoce como la persistencia multiplicativa y el número de un dígito que se obtiene al final es la raíz digital multiplicativa.

La persistencia multiplicativa de los números del 1 al 9 es claramente 0, y su raíz digital multiplicativa es el mismo número.

Por ejemplo, de 325 es:

3×2×5 = 30 y 3×0 = 0,

luego persistencia multiplicativa es 2 y la raíz digital multiplicativa es 0.

Definimos pm[n] que multiplica los dígitos del número, y rdm[n] que nos da dos datos:

{persistencia multiplicativa, raíz digital multiplicativa }

pm[n_] := Times @@ IntegerDigits[n]
rdm[n_] := 
 Module[{aa = 0}, 
  aa = NestWhileList[pm, n, # > 9 &]; {Length[aa] - 1, Last[aa]}]

Graficamos la persistencia multiplicativa del primer millón de números enteros positivos:

ListPlot@Table[{n, rdm[n][[1]]}, {n, 1000000}]

















Ninguno tiene una persistencia multiplicativa mayor que 7.

Ahora, graficamos la raíz digital multiplicativa del primer millón de enteros positivos, la mayoría tiende a un número par.

ListPlot@Table[{n, rdm[n][[2]]}, {n, 1000000}]

















dat = Table[rdm[n], {n, 1000000}];

Contemos del primer millón de enteros positivos sus persistencias multiplicativas:

Tally[Transpose[dat][[1]]]

{{0, 9}, {1, 402540}, {2, 375227}, {3, 123860}, {4, 66772}, {5, 24654}, {6, 4488}, {7, 2450}}

La mayoría tiene persistencia multiplicativa de 1 y 2 :

BarChart[Apply[Labeled, 
  Reverse[{{0, 9}, {1, 402540}, {2, 375227}, {3, 123860}, {4, 
     66772}, {5, 24654}, {6, 4488}, {7, 2450}}, 2], {1}]]
















Contemos la raíz digital multiplicativa del primer millón de enteros positivos :

Tally[Transpose[dat][[2]]]

{{1, 6}, {2, 16673}, {3, 21}, {4, 2345}, {5, 2073}, {6, 43538}, {7, 
  21}, {8, 32658}, {9, 56}, {0, 902609}}

La gran mayoría tiene a cero como su raíz digital multiplicativa y predominan los números pares:

BarChart[Apply[Labeled, 
  Reverse[{{1, 6}, {2, 16673}, {3, 21}, {4, 2345}, {5, 2073}, {6, 
     43538}, {7, 21}, {8, 32658}, {9, 56}, {0, 902609}}, 2], {1}]]
















Números más grandes

De los números menores a 10^233 el de mayor persistencia multiplicativa  sin 1 en su expansión decimal es 77777733332222222222222222222 con 11 y raíz digital multiplicativa 0.

rdm[77777733332222222222222222222]

{11,0}

Ejercicio

El matemático húngaro Paul Erdös propuso una modificación del problema no teniendo presente los dígitos ceros del número al realizar el proceso multiplicativo de sus dígitos.

Cuál sería el código para calcular su persistencia multiplicativa?

A qué conclusiones se puede llegar?


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martes, 7 de febrero de 2017

Frase Célebre de Adrián Paenza

Cuando uno puede darse cuenta del placer de dudar, 
de pensar, de frustrarse con un problema 
y que eso no va en desmedro de la persona,
entonces empieza a aprender.

Adrián Paenza

jueves, 2 de febrero de 2017

Números Omirps y Primos Capicúas


Son los números primos que al tomar sus cifras en orden contrario también son primos pero diferentes a él, no son capicúa. De ahí su nombre : primo escrito al revés.

Calculemos los primeros números Omirps entre los primeros mil números primos:

omirps = {};
Do[ppp = FromDigits@Reverse[IntegerDigits[Prime[n]]]; 
 If[PrimeQ[ppp] && ppp != Prime[n], AppendTo[omirps, Prime[n]]], {n, 
  1000}]
omirps

{13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, 167, 179, 199, 311, 337, 347, 359, 389, 701, 709, 733, 739, 743, 751, 761, 769, 907, 937, 941, 953, 967, 971, 983, 991, 1009, 1021, 1031, 1033, 1061, 1069, 1091, 1097, 1103, 1109, 1151, 1153, 1181, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1279, 1283, 1301, 1321, 1381, 1399, 1409, 1429, 1439, 1453, 1471, 1487, 1499, 1511, 1523, 1559, 1583, 1597, 1601, 1619, 1657, 1669, 1723, 1733, 1741, 1753, 1789, 1811, 1831, 1847, 1867, 1879, 1901, 1913, 1933, 1949, 1979, 3011, 3019, 3023, 3049, 3067, 3083, 3089, 3109, 3121, 3163, 3169, 3191, 3203, 3221, 3251, 3257, 3271, 3299, 3301, 3319, 3343, 3347, 3359, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3433, 3463, 3467, 3469, 3511, 3527, 3541, 3571, 3583, 3613, 3643, 3697, 3719, 3733, 3767, 3803, 3821, 3851, 3853, 3889, 3911, 3917, 3929, 7027, 7043, 7057, 7121, 7177, 7187, 7193, 7207, 7219, 7229, 7253, 7297, 7321, 7349, 7433, 7457, 7459, 7481, 7507, 7523, 7529, 7547, 7561, 7577, 7589, 7603, 7643, 7649, 7673, 7681, 7687, 7699, 7717, 7757, 7817, 7841, 7867, 7879, 7901}

Conjetura

Existen infinitos Números Omirps.

Primos Capicúas

En los números Omirps se excluye la posibilidad que el número sea capicúa, es decir: que al invertir el orden de sus cifras se obtenga el mismo número.

Ahora, vamos a determinar los números primos capicúas:

pcap = {};
Do[If[FromDigits@Reverse[IntegerDigits[Prime[n]]] == Prime[n], 
  AppendTo[pcap, Prime[n]]], {n, 100000}]
pcap

{2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, 18481, 19391, 19891, 19991, 30103, 30203, 30403, 30703, 30803, 31013, 31513, 32323, 32423, 33533, 34543, 34843, 35053, 35153, 35353, 35753, 36263, 36563, 37273, 37573, 38083, 38183, 38783, 39293, 70207, 70507, 70607, 71317, 71917, 72227, 72727, 73037, 73237, 73637, 74047, 74747, 75557, 76367, 76667, 77377, 77477, 77977, 78487, 78787, 78887, 79397, 79697, 79997, 90709, 91019, 93139, 93239, 93739, 94049, 94349, 94649, 94849, 94949, 95959, 96269, 96469, 96769, 97379, 97579, 97879, 98389, 98689, 1003001, 1008001, 1022201, 1028201, 1035301, 1043401, 1055501, 1062601, 1065601, 1074701, 1082801, 1085801, 1092901, 1093901, 1114111, 1117111, 1120211, 1123211, 1126211, 1129211, 1134311, 1145411, 1150511, 1153511, 1160611, 1163611, 1175711, 1177711, 1178711, 1180811, 1183811, 1186811, 1190911, 1193911, 1196911, 1201021, 1208021, 1212121, 1215121, 1218121, 1221221, 1235321, 1242421, 1243421, 1245421, 1250521, 1253521, 1257521, 1262621, 1268621, 1273721, 1276721, 1278721, 1280821, 1281821, 1286821, 1287821}

Observamos que de dos cifras sólo existe el 11, del 929 pasa al 10301, del 98689 pasa al 1003001. No existen números primos capicúas de 4 y 6 cifras, esto se puede generalizar así:

A excepción del número 11 no existen números Primos Capicúas de un número par de cifras.

Este hecho se demuestra utilizando congruencias.

El siguiente número es Primo Capicúa y tiene 99 cifras:

7272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272
72727272727272727272727272727

Si repetimos la secuencia 1808010808 un número de 1560 veces y al final añadimos un 1, obtenemos un número Primo Capicúa que tiene 1560*10+1=15601 cifras.



Otro Primo Capicúa es conocido como el Primo de Belfegor, un demonio que seduce ofreciendo inventos ingeniosos que proporcionan riqueza. Esta formado por dos unos en los extremos y adentro entre dos secuencias de 13 ceros el "diabólico" número de 666.

1000000000000066600000000000001

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