Ave del artista Hamid Naderi Yeganeh

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El matemático iraní Hamid Naderi Yeganeh se ha caracterizado por generar figuras de la vida real a partir de objetos matemáticos, ya había publicado algunos de sus objetos aquí. Ahora, nos muestra como generar un ave.

Clear[a,b,r]

a[k_] := k/15000 + 

  Sin[17 Pi/20 (k/20000)^5] Cos[

     41 k Pi/20000]^6 + (1/3 Cos[41 k Pi/20000]^16 + 

     1/3 Cos[41 k Pi/20000]^80) Cos[k Pi/40000]^12 Sin[6 k Pi/20000]

b[k_] := 1/2 (k/20000)^4 - 

  Cos[17 Pi/20 (k/20000)^5] (11/10 + 

     9/4 Cos[k Pi/40000]^8 Cos[3 k Pi/40000]^6) Cos[

     41 k Pi/20000]^6 + 

  3/5 Cos[3 k Pi/200000]^10 Cos[9 k Pi/200000]^10 Cos[

     18 k Pi/200000]^10

r[k_] := (1/

    50) + (1/40) (Sin[41 k Pi/20000]^2) (Sin[9 k Pi/200000]^2) + (1/

     17) (Cos[41 k Pi/20000]^2) (Cos[k Pi/40000]^10)

Graphics[Table[Circle[{a[k], b[k]}, r[k]], {k, -20000, 20000}]]

Otra perspectiva del ave

a[k_] := k/1500 + 

  Sin[17 Pi/20 (k/20000)^5] Cos[

     41 k Pi/20000]^6 + (1/3 Cos[41 k Pi/20000]^16 + 

     1/3 Cos[41 k Pi/20000]^80) Cos[k Pi/40000]^12 Sin[6 k Pi/20000]

b[k_] := 1/2 (k/20000)^4 - 

  Cos[17 Pi/20 (k/20000)^5] (11/10 + 

     9/4 Cos[k Pi/40000]^8 Cos[3 k Pi/40000]^6) Cos[

     41 k Pi/20000]^6 + 

  3/5 Cos[3 k Pi/200000]^10 Cos[9 k Pi/200000]^10 Cos[

     18 k Pi/200000]^10

r[k_] := (1/

    50) + (1/40) (Sin[41 k Pi/20000]^2) (Sin[9 k Pi/200000]^2) + (1/

     17) (Cos[41 k Pi/20000]^2) (Cos[k Pi/40000]^10)

Graphics[Table[Circle[{a[k], b[k]}, r[k]], {k, -20000, 20000}]]

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Frase Célebre de Edward Kasner

 Las Matemáticas es la ciencia 

que utiliza palabras fáciles para ideas difíciles.

Edward Kasner

Epicicloide

                                                                                                               Descargar como Notebook

La Epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz) .

Esta figura fue considerada en el sistema planetario geocéntrico para modelar las órbitas de los planetas y explicar los movimientos retrógrados aparentes de ellos al ser observados desde la tierra.

Consideraremos la circunferencia directriz de radio una unidad centrada en el origen y la circunferencia generatriz de radio r, vamos a determinar el ángulo que gira la circunferencia generatriz cuando el punto P se convierte en el punto P'. 

Como la circunferencia generatriz gira sobre la circunferencia directriz sin deslizarse, se debe tener que los dos arcos verdes deben ser de igual longitud s, aunque no necesariamente iguales pues no tienen el mismo radio, así: 

Por tanto, el ángulo que ha girado la circunferencia generatriz es: 

Las figuras que se obtienen van a depender del radio de la circunferencia generatriz :

Manipulate[

 Show[Graphics[{Arrowheads[0.02], 

    Arrow[{{0, 0}, (r + 1) {Cos[t], Sin[t]}}], Green, 

    Circle[{0, 0}, 1], Orange, Circle[(r + 1) {Cos[t], Sin[t]}, r], 

    Arrow[{(r + 1) {Cos[t], Sin[t]}, {(r + 1) Cos[t] + 

        r Cos[t (1 + 1/r)], (r + 1) Sin[t] + r Sin[t (1 + 1/r)]}}], 

    Red, PointSize[0.015], 

    Point[{(r + 1) Cos[t] + r Cos[t (1 + 1/r)], (r + 1) Sin[t] + 

       r Sin[t (1 + 1/r)]}]}, PlotRange -> 2 r + 2, Axes -> True], 

  ParametricPlot[{(r + 1) Cos[s] + 

     r Cos[s (1 + 1/r)], (r + 1) Sin[s] + r Sin[s (1 + 1/r)]}, {s, 

    0.000001, t}]], {{r, 0.5}, 0.1, 3}, {t, 0, 20 Pi}]

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Frase Célebre de Joseph Bertrand

¿Cómo osamos hablar de las leyes del azar?
¿No es acaso el azar la antítesis de toda ley?

Joseph Bertrand

Cicloide

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La Cicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, sobre una recta (directriz) .

La función vectorial sobre el plano f(t)=(-Sin(t),-Cos(t)), construye una circunferencia con centro en el origen de radio uno que se construye en el sentido de las manecillas del reloj,

Manipulate[

 ParametricPlot[{-Sin[t], -Cos[t]}, {t, 0, s}, PlotRange -> 2, 

  Axes -> True], {s, 0.0001, 2 Pi, Trigger}]

vamos a considerar como recta directriz a y = -1, como en una vuelta la circunferencia necesita un ángulo de 2Pi para construirse,y recorre 2Pi unidades horizontalmente, esto es lo que deseamos que su centro avance en un ángulo de 2Pi, así la ecuación de la Cicloide es:

obtenemos,

Manipulate[

 Show[Graphics[{Line[{{-1, -1}, {35, -1}}], {Pink, 

     Circle[{t, 0}, 1]}, {Red, Point[{t - Sin[t], -Cos[t]}]}}], 

  ParametricPlot[{s - Sin[s], -Cos[s]}, {s, 0, t}]], {t, 0.001, 10 Pi,

   Trigger}]

Gráfico arriba

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