Humor matemático

Tres lógicos entran a un bar y el camarero les pregunta:

"¿ustedes van a tomar algo?"

El primero responde: "No lo sé"
El segundo responde: "No lo sé"
El tercero responde: "Sí".

Frase Célebre de Jules Henri Poincaré

... geometría es el arte de razonar bien
a partir de dibujos mal hechos.

Jules Henri Poincaré

Envolvente Lineal

                                                                                                              Descargar como Notebook

Figura generada por segmentos de recta (secantes) dentro de una circunferencia. Generada por el Profesor alemán Hansruedi Widmer (@HansruediWidmer), muy activo en twitter.

esquinas = Table[{Cos[n 2 Pi/25], Sin[n 2 Pi/25]}, {n, 0, 400}];

Graphics[Flatten[

  Table[{Black, 

    Line[Flatten[

      Table[Table[esquinas[[n j + k]], {j, 25}], {k, 0, n}], 1]]}, {n,

     12}], 1]]

Agregándole diferentes colores,

esquinas = Table[{Cos[n 2 Pi/25], Sin[n 2 Pi/25]}, {n, 0, 400}];

colores = {Black, Red, Green, Blue, Yellow, Pink, Gray, Magenta, 

   Orange, Cyan, Brown, Purple};

Graphics[Flatten[

  Table[{colores[[n]], 

    Line[Flatten[

      Table[Table[esquinas[[n j + k]], {j, 25}], {k, 0, n}], 1]]}, {n,

     12}], 1]]

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Frase Célebre de Edward Rothstein

La música y las matemáticas responden a una especie 
de "apetito" abstracto,
un deseo que es en parte intelectual, en parte estético, 
en parte emocional y,
en parte, incluso, físico.

Edward Rothstein

Escorpión del artista Hamid Naderi Yeganeh

                                                                                                                  Descargar como Notebook

El matemático iraní Hamid Naderi Yeganeh genera otra figura de la naturaleza, ahora un escorpión.

El centro y radio de las circunferencias están dados por:

A[t_] := 1/3 Sin[20 t]^19 (Pi/2 + ArcTan[500 Cos[2 t]]) - 3/4 Sin[t]^20

B[t_] := 4/3 Cos[2 t] + 1/3 Sin[20 t]^20 Sin[120 t]^6 + 

  1/3 Sin[t]^60 Sin[3 t]^60 + 

  4/3 (Cos[t] Cos[3 t] Sin[20 t])^20 (1/2 + 3/2 Sin[60 t]^24)

R[t_] := 1/80 + 

  1/7 (1 + Cos[t]^4) (1 - Sin[20 t]^4) (1 - Sin[t]^80 Sin[3 t]^80) + 

  1/2 Cos[t]^40 Cos[3 t]^40 Sin[20 t]^50 Sin[320 t]^2

donde el parámetro t toma valores entre 0 y Pi, los tomamos con valores cada 0.001 para considerar 3141 circunferencias.

RegionPlot[

 Evaluate@Table[(x - A[t])^2 + (y - B[t])^2 <= R[t]^2, {t, 0, Pi, 

    0.001}], {x, -2, 2}, {y, -1.5, 3}, PlotPoints -> 100, 

 BoundaryStyle -> Black, PlotStyle -> Black]

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Humor Matemático

 La aritmética es el arte de contar hasta 16 

sin quitarte los zapatos.

Lisa Simpson y Mikey Mouse

Hipocicloide

                                                                                                                                Descargar como Notebook

La Hipocicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el interior de otra circunferencia (directriz) .

A diferencia de la epicicloide la circunferencia generatriz rueda por el interior.

Las figuras que se obtienen van a depender del radio de la circunferencia generatriz, con respecto al radio de la circunferencia directriz. Por facilidad vamos a considerar este segundo radio fijo de una unidad.

Manipulate[

 Show[Graphics[{Arrowheads[0.02], 

    Arrow[{{0, 0}, (1 - r) {Cos[t], Sin[t]}}], Green, 

    Circle[{0, 0}, 1], Orange, Circle[(1 - r) {Cos[t], Sin[t]}, r], 

    Arrow[{(1 - r) {Cos[t], Sin[t]}, {(1 - r) Cos[t] + 

        r Sin[t (1/r - 1)], (1 - r) Sin[t] + r Cos[t (1/r - 1)]}}], 

    Red, PointSize[0.015], 

    Point[{(1 - r) Cos[t] + r Sin[t (1/r - 1)], (1 - r) Sin[t] + 

       r Cos[t (1/r - 1)]}]}, PlotRange -> 2, Axes -> True], 

  ParametricPlot[{(1 - r) Cos[s] + 

     r Sin[s (1/r - 1)], (1 - r) Sin[s] + r Cos[s (1/r - 1)]}, {s, 

    0.000001, t}]], {t, 0, 60 Pi}, {{r, 0.3}, 0.1, 1.5}]

Imagen Arriba

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Frase Célebre de Charles Darwin

La ignorancia frecuentemente genera más confianza
de lo que lo hace el conocimiento.

Charles Darwin

Ave del artista Hamid Naderi Yeganeh

                                                                                                              Descargar como Notebook

El matemático iraní Hamid Naderi Yeganeh se ha caracterizado por generar figuras de la vida real a partir de objetos matemáticos, ya había publicado algunos de sus objetos aquí. Ahora, nos muestra como generar un ave.

Clear[a,b,r]

a[k_] := k/15000 + 

  Sin[17 Pi/20 (k/20000)^5] Cos[

     41 k Pi/20000]^6 + (1/3 Cos[41 k Pi/20000]^16 + 

     1/3 Cos[41 k Pi/20000]^80) Cos[k Pi/40000]^12 Sin[6 k Pi/20000]

b[k_] := 1/2 (k/20000)^4 - 

  Cos[17 Pi/20 (k/20000)^5] (11/10 + 

     9/4 Cos[k Pi/40000]^8 Cos[3 k Pi/40000]^6) Cos[

     41 k Pi/20000]^6 + 

  3/5 Cos[3 k Pi/200000]^10 Cos[9 k Pi/200000]^10 Cos[

     18 k Pi/200000]^10

r[k_] := (1/

    50) + (1/40) (Sin[41 k Pi/20000]^2) (Sin[9 k Pi/200000]^2) + (1/

     17) (Cos[41 k Pi/20000]^2) (Cos[k Pi/40000]^10)

Graphics[Table[Circle[{a[k], b[k]}, r[k]], {k, -20000, 20000}]]

Otra perspectiva del ave

a[k_] := k/1500 + 

  Sin[17 Pi/20 (k/20000)^5] Cos[

     41 k Pi/20000]^6 + (1/3 Cos[41 k Pi/20000]^16 + 

     1/3 Cos[41 k Pi/20000]^80) Cos[k Pi/40000]^12 Sin[6 k Pi/20000]

b[k_] := 1/2 (k/20000)^4 - 

  Cos[17 Pi/20 (k/20000)^5] (11/10 + 

     9/4 Cos[k Pi/40000]^8 Cos[3 k Pi/40000]^6) Cos[

     41 k Pi/20000]^6 + 

  3/5 Cos[3 k Pi/200000]^10 Cos[9 k Pi/200000]^10 Cos[

     18 k Pi/200000]^10

r[k_] := (1/

    50) + (1/40) (Sin[41 k Pi/20000]^2) (Sin[9 k Pi/200000]^2) + (1/

     17) (Cos[41 k Pi/20000]^2) (Cos[k Pi/40000]^10)

Graphics[Table[Circle[{a[k], b[k]}, r[k]], {k, -20000, 20000}]]

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Frase Célebre de Edward Kasner

 Las Matemáticas es la ciencia 

que utiliza palabras fáciles para ideas difíciles.

Edward Kasner

Epicicloide

                                                                                                               Descargar como Notebook

La Epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz) .

Esta figura fue considerada en el sistema planetario geocéntrico para modelar las órbitas de los planetas y explicar los movimientos retrógrados aparentes de ellos al ser observados desde la tierra.

Consideraremos la circunferencia directriz de radio una unidad centrada en el origen y la circunferencia generatriz de radio r, vamos a determinar el ángulo que gira la circunferencia generatriz cuando el punto P se convierte en el punto P'. 

Como la circunferencia generatriz gira sobre la circunferencia directriz sin deslizarse, se debe tener que los dos arcos verdes deben ser de igual longitud s, aunque no necesariamente iguales pues no tienen el mismo radio, así: 

Por tanto, el ángulo que ha girado la circunferencia generatriz es: 

Las figuras que se obtienen van a depender del radio de la circunferencia generatriz :

Manipulate[

 Show[Graphics[{Arrowheads[0.02], 

    Arrow[{{0, 0}, (r + 1) {Cos[t], Sin[t]}}], Green, 

    Circle[{0, 0}, 1], Orange, Circle[(r + 1) {Cos[t], Sin[t]}, r], 

    Arrow[{(r + 1) {Cos[t], Sin[t]}, {(r + 1) Cos[t] + 

        r Cos[t (1 + 1/r)], (r + 1) Sin[t] + r Sin[t (1 + 1/r)]}}], 

    Red, PointSize[0.015], 

    Point[{(r + 1) Cos[t] + r Cos[t (1 + 1/r)], (r + 1) Sin[t] + 

       r Sin[t (1 + 1/r)]}]}, PlotRange -> 2 r + 2, Axes -> True], 

  ParametricPlot[{(r + 1) Cos[s] + 

     r Cos[s (1 + 1/r)], (r + 1) Sin[s] + r Sin[s (1 + 1/r)]}, {s, 

    0.000001, t}]], {{r, 0.5}, 0.1, 3}, {t, 0, 20 Pi}]

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Frase Célebre de Joseph Bertrand

¿Cómo osamos hablar de las leyes del azar?
¿No es acaso el azar la antítesis de toda ley?

Joseph Bertrand

Cicloide

                                                                                                          Descargar como Notebook

La Cicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, sobre una recta (directriz) .

La función vectorial sobre el plano f(t)=(-Sin(t),-Cos(t)), construye una circunferencia con centro en el origen de radio uno que se construye en el sentido de las manecillas del reloj,

Manipulate[

 ParametricPlot[{-Sin[t], -Cos[t]}, {t, 0, s}, PlotRange -> 2, 

  Axes -> True], {s, 0.0001, 2 Pi, Trigger}]

vamos a considerar como recta directriz a y = -1, como en una vuelta la circunferencia necesita un ángulo de 2Pi para construirse,y recorre 2Pi unidades horizontalmente, esto es lo que deseamos que su centro avance en un ángulo de 2Pi, así la ecuación de la Cicloide es:

obtenemos,

Manipulate[

 Show[Graphics[{Line[{{-1, -1}, {35, -1}}], {Pink, 

     Circle[{t, 0}, 1]}, {Red, Point[{t - Sin[t], -Cos[t]}]}}], 

  ParametricPlot[{s - Sin[s], -Cos[s]}, {s, 0, t}]], {t, 0.001, 10 Pi,

   Trigger}]

Gráfico arriba

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Frase Célebre de Sebastian Thrun

Para mí, matemáticas, ciencias de la computación,
y las artes, están insanamente relacionadas.
Ellas son expresiones creativas.

Sebastian Thrun

Interés Compuesto y la Constante de Euler

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Interés Compuesto

Consiste en la re inversión de los intereses obtenidos nuevamente junto con el capital para un nuevo periodo de tiempo igual al inicial.

Con un capital c a un interés de p por ciento anual obtenemos el primer año:

c + c p/100 = c (1 + p/100)

y con interés compuesto durante dos años, liquidando el interés anualmente:

c (1 + p/100) + c (1 + p/100) p/100

=  c (1 + p/100) (1 + p/100) = c (1 + p/100)²

durante n años con interés compuesto de p por ciento liquidándolos anualmente:

c (1 + p/100)ⁿ

En Mathematica

Definimos la función ic[  ], con variables el capital, el interés y el número de periodos,

ic[c_, p_, n_] := c (1 + p/100)^n

Por ejemplo, 10 000 000 al 10 % anual por 5 años, con interés compuesto liquidados anualmente.

ic[10000000, 10, 5]

16105100

Durante cada año:

Table[{n, ic[10000000,10,n]}, {n, 1, 5, 1}] // TableForm

Constante de Euler

El matemático suizo Jacob Bernoulli se planteó, qué pasa con el interés compuesto si se liquidan los intereses en periodos de tiempo más cortos. Propuso el problema de un capital que se duplica al año, supongamos que el capital es de una unidad, entonces si los intereses se liquidan anualmente pues se tienen 2 unidades.

Ahora, si los intereses se liquidan cada medio año, cada seis meses es el 50% = 1/2, de intereses y son dos periodos:

(1. + 1/2)^2

2.25

cada cuatro meses, 33% = 1/3 y son tres periodos :

(1. + 1/3)^3

2.37037

La pregunta es a que tiende si se liquidan cada mes, cada semana, cada día, cada hora, cada segundo. Será que en algún momento se triplica el capital:

ci[n_] := c (1 + 1/n)^n

c = 1; TableForm[

 Table[{n, 

   N[ci[n], 10]}, {n, {1, 2, 3, 4, 6, 12, 52, 365, 365 24, 365 24 60, 

    365 24 60 60}}], 

 TableHeadings -> {{"anual", "semestral", "cuatrimestral", 

    "trimestral", "bimensual", "mensual", "semanal", "diario", 

    "cada hora", "cada minuto", "cada segundo"}, {"n", "capital"}}]

tiende a la constante de Euler, luego nunca se triplica el capital.

N[E,10]

2.718281828

lis=Table[{n, 

  N[ci[n]]}, {n, {1, 2, 3, 4, 6, 12, 52, 365, 365 2, 365 24, 

   365 24 60, 365 24 60 60}}];

Show[ListPlot[lis, Joined -> True], 

 Plot[E, {x, 0, 25000}, PlotStyle -> Red]]

Más generalmente, tenemos que :

Limit[(1 + 1/n)^n, n -> Infinity]

e

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Frase Célebre de Isaac Newton

Lo que sabemos es una gota de agua;
lo que ignoramos es un océano.

Isaac Newton

Curvas sobre algunas Superficies

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Estas curvas presentan mayor interés cuando los valores de p y q son primos relativos entre sí, en este caso el número de puntas es pq.

Sobre un cilindro

Curvas sobre el cilindro: x² + y² = 1

Lazo que termina en puntas

Manipulate[

 Show[ContourPlot3D[

   x^2 + y^2 == 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -2, 2}, 

   ContourStyle -> Opacity[0.3], Mesh -> 1], 

  ParametricPlot3D[{Cos[q t], Sin[q t], ArcSin[Cos[p t]]}, {t, 0, 

    2 Pi}, PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}]], {p, 1, 10, 1}, {q, 

  1, 10, 1}]

Lazos con puntas redondeadas

Show[ContourPlot3D[x^2 + y^2 == 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -2, 2},

    ContourStyle -> Opacity[0.3], Mesh -> 1], 

  ParametricPlot3D[{Cos[q t], Sin[q t], Cos[p t]}, {t, 0, 2 Pi}, 

   PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}]], {p, 1, 10, 1}, {q, 1, 10, 

  1}]

Sobre un elipsoide

Elipsoide de ecuación: x² + y² + (k z)² = 1

Manipulate[

 Show[ContourPlot3D[

   x^2 + y^2 + k^2 z^2 == 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1}, 

   ContourStyle -> Opacity[0.8], Mesh -> 1], 

  ParametricPlot3D[{Cos[q t]/Sqrt[1 + k^2 Sin[p t]^2], 

    Sin[q t]/Sqrt[1 + k^2 Sin[p t]^2],

    Sin[p t]/Sqrt[1 + k^2 Sin[p t]^2]}, {t, 0, 2 Pi}, 

   PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}]], {p, 1, 10, 1}, {q, 1, 10, 

  1}, {k, 1, 5, 1}]

Sobre un hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de ecuación: x² + y² - k² z²/(1 + k²) = 1/(1 + k²)

Manipulate[

 Show[ContourPlot3D[

   x^2 + y^2 - k^2/(1 + k^2) z^2 == 1/(1 + k^2), {x, -1.1, 

    1.1}, {y, -1.1, 1.1}, {z, -1.1, 1.1}, 

   ContourStyle -> Opacity[0.5], Mesh -> 1], 

  ParametricPlot3D[{Cos[q t]/Sqrt[1 + k^2 Sin[p t]^2], 

    Sin[q t]/Sqrt[1 + k^2 Sin[p t]^2],

    Cos[p t]/Sqrt[1 + k^2 Sin[p t]^2]}, {t, 0, 2 Pi}, 

   PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}]], {p, 1, 10, 1}, {q, 1, 10, 

  1}, {k, 1, 5, 1}]

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Frase Célebre de Richard Feynman

Uno no puede entender ... 
la universalidad de las leyes de la naturaleza,
la relación entre las cosas,
sin un entendimiento de las matemáticas.
No existe otro camino para esto.

Richard Feynman

Series de Fourier

 Descargar como Notebook

Conocemos las Series de Taylor que nos permiten aproximar por un polinomio una función, con la única condición de ser continuamente diferenciable en el punto donde se centra su región de convergencia. Pero con la restricción que la región de convergencia no se extiende más allá del punto de discontinuidad meas próximo al centro.

Ahora, las Series de Fourier sí se extienden más de los puntos de discontinuidad, y son sumas de constantes multiplicadas por funciones senos y/o cosenos de diferente frecuencia.

En general, dada una función f(x) integrable en un intervalo [ -L , L ], tenemos que:

donde,

y

la función f (x) tiene un período de 2L.

Ejemplo 1

Determinar la Serie de Fourier para f(x) = x para x \[Epsilon] [-\[Pi] , \[Pi] ].

Primero determinamos los coeficientes de Fourier an y bn,

0

0

Así, tenemos que :

cuyos primeros términos, son :

Plot[{x, 2 Sin[x] - Sin[2 x] + 2/3 Sin[3 x] - 1/2 Sin[4 x] + 

   2/5 Sin[5 x]}, {x, -10, 10}, PlotStyle -> {Red, Green}]

Ahora, si consideramos que la función f(x)=x es periódica y de periodo 2Pi, tenemos:

Hemos generado una aproximación continua para una función discontinua .

Ejemplo 2

Consideremos la función definida por trozos :

de periodo 6, es decir L = 3.

3/2

Así, tenemos que :

Graficando, queda:

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