Números Felices y Números Tristes

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Dado un entero positivo se suma el cuadrado de sus dígitos y al número resultante se le repite el proceso hasta: llegar al número 1 (donde el número inicial es un Número Feliz) o se forma un ciclo que no incluye al número 1 (donde el número inicial se llama Triste).

Definimos la función ft[ ] que realiza la operación de sumar los cuadrados de sus dígitos.

ft[n_] := Total@Power[IntegerDigits[n], 2]

Observo que los números que no convergen a 1 forman el ciclo {4,16,37,58,145,42,20,4,...}, en el primer millón de enteros positivos no he encontrado números que se comporten diferente, por tanto decimos que tristes son los que incluyen al 4 en su recorrido, esta afirmación se ha probado que es cierta.

Clasificamos los 1000 primeros enteros positivos en felices o tristes :

feliz = {};
triste = {};
Do[Switch[NestWhile[ft, n, # != 1 & || # != 4 &, 1, 100], 1, 
  AppendTo[feliz, n], 4, AppendTo[triste, n]], {n, 1000}]
feliz
Length[feliz]
Length[triste]

{1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000}

143
857

Existen entre los primeros mil números enteros positivos: 143 felices y el resto 857 tristes.

Propiedades

1. Para cualquier número natural n , existen n números felices consecutivos: Para n=2, se tiene el primer par 31,32; para n=3, se tiene la primera terna 1880, 1881,1882; para n=4, se tiene la primera cuarteta 7839,7840,7841,7842.

2. Al agregar o quitar ceros en cualquier posición a un número feliz sigue siendo feliz y a un número triste sigue siendo triste, pues no se altera la suma de sus cuadrados.

3. Por lo anterior, los Números Felices son infinitos al igual que los Números Tristes.

4. Para un número suficientemente grande de números enteros positivos, la densidad de los Números Felices varía entre 11.38% y 18.577%.

Ejercicio

Defina la operación como la suma de sus cubos, determine su comportamiento. Se podrían definir igual los felices y los tristes?


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