Frase Célebre de Miguel de Guzmán

 La matemática es, sobre todo, saber hacer, 

es una ciencia en la que el método 

claramente predomina sobre el contenido.

Miguel de Guzmán 

Teorema del Sándwich y Límites Trigonométricos

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Ejemplo

Calcular:

Plot[{x^2 Sin[50/x], x^2, -x^2}, {x, -5, 5}, PlotRange -> 20, 

 PlotLegends -> "Expressions"]

Tenemos que :

y sabemos que :

Limit[-x^2, x -> 0]

0

Limit[x^2, x -> 0]

0

por tanto,

Comprobación :

Limit[x^2 Sin[50/x], x -> 0]

0

Sabemos que :

Graphics[{{LightBlue, Disk[]}, {Orange, 

   Disk[{0, 0}, 1, {-Pi/4, Pi/4}]}, {Red, Text["R", {0.4, 0.5}], 

   Text["R", {0.4, -0.5}], Text["O", {-0.05, 0}], 

   Circle[{0, 0}, 0.1, {-Pi/4, Pi/4}], 

   Text["\[Theta]", {0.15, 0}]}, {Green, Thick, 

   Circle[{0, 0}, 1, {-Pi/4, Pi/4}]}, 

  Text["S = R\[CenterDot]\[Theta],  con \[Theta] en radianes", {1.6, 

    0}]}]

y también, en un circulo unitario tenemos:

Manipulate[

 Graphics[{Circle[], 

   Circle[{0, 0}, 0.1, {0, a}], {Line[{{0, 0}, {1, Tan[a]}}]}, {Green,

     Thick, Circle[{0, 0}, 1, {0, a}]}, {Red, Thick, 

    Line[{{Cos[a], 0}, {Cos[a], Sin[a]}}], 

    Line[{{1, 0}, {1, Tan[a]}}]}, {Text[

     "Sen(θ)", {0.89 Cos[a], 0.5 Sin[a]}], 

    Text["Tan(θ)", {1.12, 0.5 Tan[a]}], 

    Text["θ", {Cos[a/2], Sin[a/2]}], 

    Text["θ", 0.13 {Cos[a/2], Sin[a/2]}]}}, 

  Axes -> True], {{a, Pi/4, "θ"}, Pi/4, 0}]

de donde,

Así,

y como,

Limit[Cos[θ], θ -> 0]

1

Por el Teorema del Sándwich se tiene que:

Plot[Sin[θ]/θ, {θ, -1, 1}]

Quiet@TableForm[Table[{x, Sin[x]/x}, {x, -0.05, 0.05, 0.01}], 

  TableHeadings -> {None, {"x", "f(x)"}}]

El ángulo θ medido en sexagesimales

En Mathematica las funciones trigonométricas por primera opción, es decir cuando no se indica lo contrario, se calculan en radianes. Para calcular en sexagesimales se debe agregar dentro de la función Degree que es la constante que convierte de sexagesimales a radianes.

Sin[90] // N

0.893997

Sin[90 Degree]

1

Plot[Sin[θ Degree]/θ, {θ, -1, 1}]

Quiet@TableForm[Table[{x, Sin[x]/x Degree}, {x, -0.05, 0.05, 0.01}], 

  TableHeadings -> {None, {"x", "f(x)"}}]

Vemos que :

que corresponde a π/180,

N[Pi/180]

0.0174533

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas

Frase Célebre de René Descartes

Cada problema que resolví 
se convirtió en una regla que sirvió
para resolver otros problemas.

René Descartes

Áreas de regiones con polinomio de cuarto orden

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Dado un polinomio de cuarto orden con dos puntos de inflexión (donde cambia la concavidad). Se construye la recta que pasa por los dos puntos de inflexión, así se forman tres regiones limitadas por el polinomio y la recta y se tiene que la suma de las regiones a izquierda y derecha suman lo mismo que el área de la región de en medio.

Manipulate[m = mm[[1]]; n = mm[[2]]; p = pp[[1]]; q = pp[[2]]; 

 recta[x_] := (n - q)/(m - p) (x - m) + n; {a, b} = {c1, c2} /. 

   NSolve[{ m^4 - 2 (m + p) m^3 + 6 m p m^2 + c1 m + c2 == n, 

      p^4 - 2 (m + p) p^3 + 6 m p p^2 + c1 p + c2 == q}, {c1, c2}][[

    1]]; f[x_] := x^4 - 2 (m + p) x^3 + 6 m p x^2 + a x + b; 

 cortes = Sort[x /. NSolve[recta[x] == f[x], x]]; 

 If[Length[cortes] == 4, aa = First@cortes; bb = Last@cortes, 

  aa = First@cortes - 0.01; bb = Last@cortes + 0.01]; 

 area1 = NIntegrate[recta[x] - f[x], {x, aa, m}]; 

 area2 = NIntegrate[f[x] - recta[x], {x, m, p}]; 

 area3 = NIntegrate[recta[x] - f[x], {x, p, bb}]; 

 Grid[{{Show[

     Plot[{f[x], recta[x]}, {x, -15, 15}, PlotRange -> 100, 

      PlotLabel -> Row[{"f(x) = ", f[x]}]], 

     Plot[{f[x], recta[x]}, {x, aa, bb}, PlotRange -> 100, 

      Filling -> {1 -> {{2}, {Yellow, Green}}}], 

     Graphics[{Red, 

       Text["A1", {(aa + m)/2, (f[(aa + m)/2] + recta[(aa + m)/2])/

          2}], Text[

        "A2", {(p + m)/2, (f[(p + m)/2] + recta[(p + m)/2])/2}], 

       Text[

        "A3", {(bb + p)/2, (f[(bb + p)/2] + recta[(bb + p)/2])/2}]}], 

     ImageSize -> Medium], 

    Column[{Row[{"A1 = ", area1, 

        " Unid^2"}], 

      Row[{"A2 = ", area2, 

        " Unid^2"}], 

      Row[{"A3 = ", area3, 

        " Unid^2"}], 

      Row[{Text["   A1   +   A3   =   A2", Background -> LightRed]}], 

      Row[{area1, "+", area3, " = ", 

        area2}]}]}}], {mm, {-4, -10}, {-1, 10}, 

  Locator}, {pp, {1, -10}, {4, 10}, Locator}, 

 ContentSize -> {600, 300}]

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Frase Célebre de Lex Schrijver

 Las matemáticas son como el oxigeno.

Si existe, no lo notas.

Si no existiera, no puedes vivir sin él.

Lex Schrijver