Frase Célebre de Sebastian Thrun

Para mí, matemáticas, ciencias de la computación,
y las artes, están insanamente relacionadas.
Ellas son expresiones creativas.

Sebastian Thrun

Interés Compuesto y la Constante de Euler

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Interés Compuesto

Consiste en la re inversión de los intereses obtenidos nuevamente junto con el capital para un nuevo periodo de tiempo igual al inicial.

Con un capital c a un interés de p por ciento anual obtenemos el primer año:

c + c p/100 = c (1 + p/100)

y con interés compuesto durante dos años, liquidando el interés anualmente:

c (1 + p/100) + c (1 + p/100) p/100

=  c (1 + p/100) (1 + p/100) = c (1 + p/100)²

durante n años con interés compuesto de p por ciento liquidándolos anualmente:

c (1 + p/100)ⁿ

En Mathematica

Definimos la función ic[  ], con variables el capital, el interés y el número de periodos,

ic[c_, p_, n_] := c (1 + p/100)^n

Por ejemplo, 10 000 000 al 10 % anual por 5 años, con interés compuesto liquidados anualmente.

ic[10000000, 10, 5]

16105100

Durante cada año:

Table[{n, ic[10000000,10,n]}, {n, 1, 5, 1}] // TableForm

Constante de Euler

El matemático suizo Jacob Bernoulli se planteó, qué pasa con el interés compuesto si se liquidan los intereses en periodos de tiempo más cortos. Propuso el problema de un capital que se duplica al año, supongamos que el capital es de una unidad, entonces si los intereses se liquidan anualmente pues se tienen 2 unidades.

Ahora, si los intereses se liquidan cada medio año, cada seis meses es el 50% = 1/2, de intereses y son dos periodos:

(1. + 1/2)^2

2.25

cada cuatro meses, 33% = 1/3 y son tres periodos :

(1. + 1/3)^3

2.37037

La pregunta es a que tiende si se liquidan cada mes, cada semana, cada día, cada hora, cada segundo. Será que en algún momento se triplica el capital:

ci[n_] := c (1 + 1/n)^n

c = 1; TableForm[

 Table[{n, 

   N[ci[n], 10]}, {n, {1, 2, 3, 4, 6, 12, 52, 365, 365 24, 365 24 60, 

    365 24 60 60}}], 

 TableHeadings -> {{"anual", "semestral", "cuatrimestral", 

    "trimestral", "bimensual", "mensual", "semanal", "diario", 

    "cada hora", "cada minuto", "cada segundo"}, {"n", "capital"}}]

tiende a la constante de Euler, luego nunca se triplica el capital.

N[E,10]

2.718281828

lis=Table[{n, 

  N[ci[n]]}, {n, {1, 2, 3, 4, 6, 12, 52, 365, 365 2, 365 24, 

   365 24 60, 365 24 60 60}}];

Show[ListPlot[lis, Joined -> True], 

 Plot[E, {x, 0, 25000}, PlotStyle -> Red]]

Más generalmente, tenemos que :

Limit[(1 + 1/n)^n, n -> Infinity]

e

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas

Frase Célebre de Isaac Newton

Lo que sabemos es una gota de agua;
lo que ignoramos es un océano.

Isaac Newton