Series de Taylor

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Dada una función f (x) continuamente derivable en un punto "a", su Serie de Taylor corresponde a:

válido en un intervalo (a - R, a + R), donde R es el radio de convergencia de la serie de Taylor. Así, se puede representar la función f(x) mediante un polinomio infinito, o aproximarla por medio de un polinomio tomando un número suficiente de términos.

Se construye un aplicativo que nos muestra como estos polinomios van aproximando a diferentes funciones, vemos que entre mayor sea el número de términos que consideremos en el polinomio mejor es la aproximación y mayor es el radio de convergencia.

Mathematica cuenta con el comando Series[ ] que nos calcula el polinomio de Taylor. Por ejemplo la función seno centrada en cero y con 10 términos.

Series[Sin[x], {x, 0, 10}]

El término final corresponde al error cometido por solo considerar el polinomio hasta el grado 10, esto lo podemos omitir mediante el comando Normal.

Normal@Series[Sin[x], {x, 0, 10}]

pero, este resultado no lo podemos calcular pues la variable x la considera como variable interna del comando Series[ ], así que se tiene que sustituir:

Normal@Series[Sin[a], {a, 0, 10}] /. a -> x

Ahora sí, podemos graficar la función seno y el polinomio de Taylor que la aproxima centrada en cero considerando sus primeros diez términos. Vemos que la convergencia aproximadamente es de radio 4, en un intervalo centrado en cero es decir ( - 4, 4 ).

Plot[{Sin[x], Normal@Series[Sin[a], {a, 0, 10}] /. a -> x}, {x, -2 Pi, 2 Pi}]

Construyamos el polinomio de aproximación p(x) término a término.

Manipulate[
 Grid[{{Plot[{Sin[x], 
      Normal@Series[Sin[a], {a, 0, n}] /. a -> x}, {x, -2 Pi, 2 Pi}, 
     PlotRange -> {{-7, 7}, {-1.5, 1.5}}, 
     ImageSize -> {500, 400}]}, {"p(x)=" Normal@
       Series[Sin[a], {a, 0, n}] /. a -> x}}], {n, 1, 15, 1}]

Para coseno.

Manipulate[
 Grid[{{Plot[{Cos[x], 
      Normal@Series[Cos[a], {a, 0, n}] /. a -> x}, {x, -2 Pi, 2 Pi}, 
     PlotRange -> {{-7, 7}, {-1.5, 1.5}}, 
     ImageSize -> {450, 400}]}, {"p(x)=" Normal@
       Series[Cos[a], {a, 0, n}] /. a -> x}}], {n, 1, 15, 1}]

Para tangente debemos recordar que ella tiene discontinuidades en -Pi/2 y Pi/2, y un polinomio siempre es continuo, por tanto si hacemos centro en cero sólo tendremos una aproximación para el intervalo (-Pi/2,Pi/2).

Manipulate[
 Grid[{{Plot[{Tan[x], 
      Normal@Series[Tan[a], {a, 0, n}] /. a -> x}, {x, -2 Pi, 2 Pi}, 
     PlotRange -> {{-2, 2}, {-15, 15}}, 
     ImageSize -> {450, 400}]}, {"p(x)=" Normal@
       Series[Tan[a], {a, 0, n}] /. a -> x}}], {n, 1, 15, 1}]

Para las tres funciones :

Manipulate[
 intervalo = 
  If[f === Tan, {{-2, 2}, {-15, 15}}, {{-7, 7}, {-1.5, 1.5}}]; 
 Grid[{{Plot[{f[x], 
      Normal@Series[f[a], {a, 0, n}] /. a -> x}, {x, -2 Pi, 2 Pi}, 
     PlotRange -> intervalo, 
     ImageSize -> {500, 400}]}, {"p(x)=" Normal@
       Series[f[a], {a, 0, n}] /. a -> x}}], {n, 1, 15, 
  1}, {f, {Sin, Cos, Tan}}]

Ejercicio

Realizar la serie de Taylor y graficar el polinomio y la función para cada una de las funciones dadas, centradas en el respectivo punto:
1. exponencial centrada en cero.
2. logaritmo centrada en uno.
3. tangente centrada en Pi.

Creación del último GIF

Export[NotebookDirectory[] <> "taylortres.gif", 
 Manipulate[
  intervalo = 
   If[f === Tan, {{-2, 2}, {-15, 15}}, {{-7, 7}, {-1.5, 1.5}}]; 
  Grid[{{Plot[{f[x], 
       Normal@Series[f[a], {a, 0, n}] /. a -> x}, {x, -2 Pi, 2 Pi}, 
      PlotRange -> intervalo, 
      ImageSize -> {500, 400}]}, {"p(x)=" Normal@
        Series[f[a], {a, 0, n}] /. a -> x}}], {n, 1, 15, 
   1}, {f, {Sin, Cos, Tan}}], "AnimationRepetitions" -> Infinity]


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