La característica fundamental de un comportamiento caótico es la Sensibilidad a las Condiciones Iniciales, estamos acostumbrados a que un pequeño cambio en las condiciones iniciales produce, si al caso, un pequeño cambio en la evolución del fenómeno. Pero los comportamientos caóticos se caracterizan porque los pequeños cambios producen grandes cambios en la evolución del fenómeno, recordemos la famosa frase de Edward Lorenz:
El aleteo de una mariposa en Australia
puede causar una tormenta eléctrica en Nueva York.
Que se conoce como el Efecto Mariposa.
Se deja caer dos pelotas muy cercanas, casi sobre puestas, dentro de una circunferencia y rebotan con sus lados bajo la acción únicamente de la fuerza de gravedad . La mínima diferencia en su posición inicial causa una diferencia grande en su trayectoria.
Primero se resuelve la Ecuación Diferencial general:
g = 9.81;
tmax = 10;
rebote = ReflectionTransform[{-x[t], -y[t]}][{x'[t], y'[t]}];
solucion[x0_, y0_] :=
NDSolveValue[{y''[t] == -g, x''[t] == 0, x'[0] == 0, y'[0] == 0,
x[0] == x0, y[0] == y0,
WhenEvent[
x[t]^2 + y[t]^2 == 1, {x'[t], y'[t]} -> Evaluate[rebote]]}, {x,
y}, {t, 0, tmax}];
Ahora, se definen las posiciones iniciales de las dos pelotas, la diferencia de posición entre ellas es de apenas dos diez milésimas. Después del tercer rebote ya es evidente la diferencia entre sus trayectorias.
{xf1, yf1} = solucion[0.001, 0.5];
{xf2, yf2} = solucion[0.0012, 0.5];
Manipulate[
Show[ParametricPlot[{{xf1[t], yf1[t]}, {xf2[t], yf2[t]}}, {t, 0,
ttt}, PlotRange -> 1],
Graphics[{{Red, Circle[{0, 0}, 1]}, {PointSize[0.03], Blue,
Point[{xf1[ttt], yf1[ttt]}]}, {PointSize[0.03], Orange,
Point[{xf2[ttt], yf2[ttt]}]}}], Ticks -> None,
Background -> Black], {ttt, 0.00001, tmax, Trigger,
DefaultDuration -> 15}]
