Area Encerrada en Polares

 Descargar como Notebook

Ejemplo 1

Determinar el área de la región encerrada por r = Sen(θ) y r = Cos(θ).

Show[PolarPlot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, Pi}, 

  PlotLabels -> {"r = Sen(θ)", "r = Cos(θ)"}], 

 RegionPlot[

  0 < x < 0.5 && -Sqrt[0.5^2 - x^2] + 0.5 < y < 

    Sqrt[0.5^2 - (x - 0.5)^2], {x, 0, 0.5}, {y, 0, 0.5}]]

Determinando el punto de corte, igualamos por r :

Solve[Sin[t] == Cos[t], t]

El punto de corte es π/4.

Manipulate[

 Show[PolarPlot[1.2, {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> LightGray, 

   PolarGridLines -> Automatic, PolarAxes -> True, PlotRange -> 2.5], 

  PolarPlot[2, {t, 0, a}, PlotStyle -> Green], 

  PolarPlot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, Pi}, 

   PlotLabels -> {"r = Sen(θ)", "r = Cos(θ)"}], 

  Graphics[{Red, Dashed, 

    Line[{{0, 0}, 

      If[a < Pi/4, {Sin[a] Cos[a], Sin[a] Sin[a]}, {Cos[a] Cos[a], 

        Cos[a] Sin[a]}]}]}]], {{a, Pi/12, "θ"}, 0.00001, Pi/2}]

Observe que el rayo rojo de 0 a π / 4 va hasta Sen(θ) y de π / 4 a π / 2  va hasta Cos(θ), esto define los límites de la integral.

Calculando :

Ejemplo 2

Determinar el área de la región dentro de r = 3Sen(θ) y por fuera de r = 1 + Sen(θ).

PolarPlot[{3 Sin[t], 1 + Sin[t]}, {t, 0, 2 Pi}, 

 PlotLabels -> {"r = 3Sen(θ)", "r = 1 + Sen(θ)"}]

Puntos de corte :

Solve[3 Sin[t] == 1 + Sin[t], t]

Tenemos que los cortes ocurren enπ / 6 y en 5π / 6

Manipulate[

 Show[PolarPlot[3, {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> LightGray, 

   PolarGridLines -> Automatic, PolarAxes -> True, PlotRange -> 3.5], 

  PolarPlot[1, {t, 0, a}, PlotStyle -> Green], 

  PolarPlot[{3 Sin[t], 1 + Sin[t]}, {t, 0, 2 Pi}, 

   PlotLabels -> {"r =3 Sen(θ)", "r = 1 + Sen(θ)"}], 

  Graphics[{{Green, Dashed, 

     Line[{{0, 

        0}, {(1 + Sin[a]) Cos[a], (1 + Sin[a]) Sin[a]}}]}, {Red, 

     Thick, Line[{{(1 + Sin[a]) Cos[a], (1 + Sin[a]) Sin[a]}, {3 Sin[

          a] Cos[a], 3 Sin[a] Sin[a]}}]}}]], {{a, Pi/6, "θ"}, 

  Pi/6, 5 Pi/6}]

Observe que el rayo rojo toma valores de π / 6 a 5π / 6 y comienza en 1+ Sen(θ) y termina en  3Sen(θ), esto define los límites de la integral.

calculando es:

π

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas

Frase Célebre de Niels Henrik Abel

 En general, las series divergentes son obra del diablo, 

y es una pena que uno se atreva a basar sus demostraciones en ellas.

Niels Henrik Abel

Recta Tangente en Polares

 Descargar como Notebook

Dada la función r = f (\[Theta]), la pendiente de la recta tangente se calcula por:

Generamos la función:

r1[t_] := Sin[t]

r2[t_] := Sin[2 t]

r3[t_] := 1 + Sin[t]

r4[t_] := 0.5 + 1 Sin[t]

Manipulate[

 m[r_, a_] := (D[r[θ],θ] Sin[θ] + 

      r[θ] Cos[θ])/(D[

        r[θ], θ] Cos[θ] - 

      r[θ] Sin[θ]) /.θ -> a; 

 Show[Plot[m[r, a] (x - r[a] Cos[a]) + r[a] Sin[a], {x, -2, 2}, 

   PlotLabel -> Row[{"Pendiente = ", Chop[m[r, a]]}], 

   PlotStyle -> {Dashed, Red}, AxesOrigin -> {0, 0}, 

   AspectRatio -> 1], PolarPlot[r[θ], {θ, 0, 2 Pi}], 

  PlotRange -> 2], {{r, r1, 

   "Función: r(θ) ="}, {r1 -> "Sen(θ)", 

   r2 -> "Sen(2θ)", r3 -> "1+Sen(θ)", 

   r4 -> "1/2+Sen(θ)"}}, {{a, 0, 

   "θ]"}, 0, 2 Pi}]

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas

Frase Célebre de Goethe

No hay espectáculo más terrible que la ignorancia en acción.

Johann Wolfgang von Goethe