Círculo Osculador

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Dada una curva el Círculo Osculador es el círculo que es tangente a la curva y además en su punto de tangencia comparten, círculo y curva, la misma curvatura. El término osculador viene de la palabra latina osculum que significa beso.

Recordemos, que dada una función y = f(x) su curvatura k(x) en el punto (x,f(x)) está dada por la fórmula:

Y la curvatura de una circunferencia de radio R es 1/R.

Primero definimos la curvatura para una función f en un punto x de su dominio por:

curva[f_, a_] := Abs[D[f, {x, 2}]]/(1 + D[f, x]^2)^(3/2) /. {x -> a}

Ahora, construimos el Manipulate que nos gráfica el círculo oscilador para las funciones seno, coseno, tangente y una cuadrática.

parabola[x_] := 0.3 x^2

Manipulate[
 aaa = {x, y} /. 
   SortBy[NSolve[{y - f[a] == -1/(D[f[x], x] /. {x -> a}) (x - a), 
      Sqrt[(x - a)^2 + (y - f[a])^2] == 1/curva[f[x], a]}, {x, y}], 
    Last]; {h, k} = 
  If[(D[f[x], {x, 2}] /. {x -> a}) < 0, aaa[[1]], aaa[[2]]]; 
 radio = 1./curva[f[x], a]; 
 Show[Graphics[{Red, Circle[{h, k}, radio]}, AspectRatio -> 1], 
  Plot[f[x], {x, -10, 10}], PlotRange -> 10, Axes -> True, 
  PlotLabel -> 
   Grid[{{"Cículo osculador"}, {StringForm[
       "Centro: (`1`,`2`)  Radio: `3`", h, k, radio]}}]], {a, -5, 
  5}, {f, {Sin, Cos, Tan, parabola -> "Parábola"}}]

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