Problema de Optimización por Multiplicadores de Lagrange

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Problema

Determinar el rectángulo  de área máxima que está inscrito en la elipse

Graficamos los diferentes rectángulos junto con su área,

g1 = ContourPlot[(x^2/9) + (y^2/16) == 1, {x, -4, 4}, {y, -5, 5},
   ContourStyle -> Green, Axes -> True, AspectRatio -> Automatic];
Manipulate[
 Column[{Row[{"Area del Rectángulo  ", 16. a Sqrt[1 - a^2/9]}],
   Show[g1,
    Graphics[{Blue,
      Line[{{a, -4 Sqrt[1 - a^2/9]}, {a, 4 Sqrt[1 - a^2/9]}, {-a,
         4 Sqrt[1 - a^2/9]}, {-a, -4 Sqrt[1 - a^2/9]}, {a, -4 Sqrt[
           1 - a^2/9]}}]}]]}], {{a, 1}, 0, 3}]

Analizando las curvas de nivel correspondiente al área del cuadrado y los gradientes de la restricción y la función a Optimizar:

Manipulate[
 Column[{Row[{"Area del Rectángulo  ", 16. a Sqrt[1 - a^2/9]}],
   Show[ContourPlot[(x^2/9) + (y^2/16) == 1, {x, -2, 7}, {y, -2, 7},
     PerformanceGoal -> "Quality", PlotRange -> {{-2, 7}, {-2, 7}},
     ImageSize -> Large, ContourStyle -> Green, Axes -> True],
    ContourPlot[4 x*y == area, {x, -2, 7}, {y, -2, 7},
     ContourShading -> None, PerformanceGoal -> "Quality",
     ContourStyle -> Red],
    Graphics[
     Point[Dynamic[{x, 4 Sqrt[9 - x^2]/3}], VertexColors -> Red]],
    Graphics[{Green,
      Arrow[{{x,
         4 Sqrt[9 - x^2]/3}, {(11 x)/9, (3 Sqrt[9 - x^2])/2}}]}],
    Graphics[{Red,
      Arrow[{{x, 4 Sqrt[9 - x^2]/3}, {x + (6/x), (6/x) + x}}]}],
    If[rectangulo,
     Graphics[{Blue,
       Line[{{a, -4 Sqrt[1 - a^2/9]}, {a, 4 Sqrt[1 - a^2/9]}, {-a,
          4 Sqrt[1 - a^2/9]}, {-a, -4 Sqrt[1 - a^2/9]}, {a, -4 Sqrt[
            1 - a^2/9]}}]}], Graphics[Point[{0, 0}]]]]}], {x, .0001,
  3}, {area, 2, 32}, {rectangulo, {False, True}}, {a, 0, 3}]

Observamos que en el punto óptimo se tiene:

1. La curva de nivel correspondiente a la máxima área es tangente con la elipse,

2. en el punto de tangencia, también coincide el vértice del cuadrado de área máxima,

3. y lo más importante, los gradientes de la curva de nivel del área máxima y el de la elipse, son paralelos, aspecto fundamental para el Método de Multiplicadores de Lagrange.

Solución Analítica 

Sean (x,y) las coordenadas del vértice del cuadrado en el primer cuadrante, entonces:

Función a Optimizar: A(x,y) = 4 x y,

Restricción: g(x,y) = x²/9 + y²/16 = 1.

Por Multiplicadores de Lagrange los puntos óptimos, si existen, satisfacen el sistema de ecuaciones:

que se convierte en,

Resolviendo en Mathematica, tenemos:


Solve[{4 y == 2 n x/9, 4 x == n y/8, x^2/9 + y^2/16 == 1},{x, y, n}]

como x,y>0, la solución es la última:

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