Transformaciones de Funciones

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Consiste en los cambios que se pueden obtener sobre una función al pre-componer y pos-componer con respecto a funciones lineales.

Consideraremos la función:

f[x_] := Piecewise[{{x + 2, -1 <= x < 0}, {2, 0 <= x < 2}, {-x + 4, 

    2 <= x < 4}, {x - 4, 4 <= x <= 5}}, None]

Plot[f[x], {x, -5, 5}, GridLines -> All]

Pos - composición : Transformación en Y

Sea g(x) = c x + d, realizaremos la composición (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = c f(x) + d, que afecta a la función en el eje Y. 

f[x_] := Piecewise[{{x + 2, -1 <= x < 0}, {2, 0 <= x < 2}, {-x + 4, 

    2 <= x < 4}, {x - 4, 4 <= x <= 5}}, None]

Manipulate[g[x_] := c x + d; 

 Show[Plot[{f[x], g[f[x]]}, {x, -6, 6}, 

   PlotLabel -> Row[{c, "f(x)", If[d >= 0, "+", ""], d}], 

   PlotStyle -> {{Dashed, Blue}, {Red, Thickness[0.01]}}, 

   PlotRange -> 8, GridLines -> All, AspectRatio -> 1], 

  Graphics[{Text["f(x)", {2.2, 2.2}]}]], {{c, 1}, -3, 3}, {{d, 0}, -3,

   3}]

Pre - composición : Transformación en X

Sea g(x) = a x + b, realizaremos la composición (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(a x + b), que afecta a la función en el eje X. 

f[x_] := Piecewise[{{x + 2, -1 < x < 0}, {2, 0 < x < 2}, {-x + 4, 

    2 < x < 4}, {x - 4, 4 < x < 5}}, None]

Manipulate[g[x_] := a x + b; 

 Show[Plot[{f[x], f[a x + b]}, {x, -6, 6}, 

   PlotLabel -> Row[{"f(", a, "x", If[b >= 0, "+", ""], b, ")"}], 

   PlotStyle -> {{Dashed, Blue}, {Red, Thickness[0.01]}}, 

   PlotRange -> 8, GridLines -> All, AspectRatio -> 1], 

  Graphics[{Text["f(x)", {2.2, 2.2}]}]], {{a, 1}, -3, 3}, {{b, 0}, -3,

   3}]

Composiciones con g (x) = - x

Clear[f, gf, gfg]

f[x_] := Piecewise[{{x + 2, -1 < x < 0}, {2, 0 < x < 2}, {-x + 4, 

    2 < x < 4}, {x - 4, 4 < x < 5}}, None]

Manipulate[

 Plot[{f[x], 

   Evaluate@Switch[op, fg, f[-x], gf, -f[x], gfg, -f[-x]]}, {x, -5, 

   5}, PlotRange -> 5, 

  PlotStyle -> {{Dashed, Blue}, {Red, Thickness[0.01]}}, 

  GridLines -> All, 

  AspectRatio -> 1], {{op, "", "Composición: Roja"}, {fg -> "f(-x)", 

   gf -> "-f(x)", gfg -> "-f(-x)"}}]

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