Funciones Inversas

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Definición

La inversa de una función f(x) corresponde a una función g(x) tal que:

( f ∘ g ) ( x ) = x        y       ( g ∘ f ) ( x ) = x

En la práctica, la gráfica de la inversa de una función corresponde a su simétrica con respecto a la función idéntica 

Id( x ) = x.

Para que la inversa sea función es necesario que la función inicial sea inyectiva, rectas horizontales la cortan en un único punto.

Show[ContourPlot[{y == x^2 + 1, y == x, x == y^2 + 1}, {x, -5, 

   5}, {y, -5, 5}, Axes -> True, GridLines -> Automatic], 

 Graphics[{Text["f(x)", {-1, 3}], 

   Text["\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), \(-1\)]\)(x)", {3, -1}], 

   Text["Id", {4, 4.2}], Red, Dashed, Line[{{-2, 4}, {2, 4}}], 

   Line[{{4, -2}, {4, 2}}]}]]

La función f(x), por no ser inyectiva, no tiene inversa pues f^-1(x) NO es una función. Las líneas horizontales en f (para ser inyectiva) se vuelven verticales en f^-1 (para ser función).

Restricciones del Dominio e Inversas

Seno

gra = Graphics[{Point[{0, 0}]}];

Manipulate[

 Show[Plot[{If[id, x, Sin[x]], Sin[x]}, {x, -Pi, Pi}, 

   PlotRange -> {{-Pi, Pi}, {-Pi, Pi}}, AspectRatio -> Automatic], 

  If[re, Plot[Sin[x], {x, -Pi/2, Pi/2}, PlotStyle -> {Red, Dashed}], 

   gra], If[inv, 

   Plot[ArcSin[x], {x, -Pi, Pi}, PlotStyle -> {Green, Dashed}], 

   gra]], {{id, False, "Idéntica"}, {False, True}}, {{re, False, 

   "Restricción"}, {False, True}}, {{inv, False, "Inversa"}, {False, 

   True}}]

Coseno

gra = Graphics[{Point[{0, 0}]}];

Manipulate[

 Show[Plot[{If[id, x, Cos[x]], Cos[x]}, {x, -Pi, Pi}, 

   PlotRange -> {{-Pi, Pi}, {-Pi, Pi}}, AspectRatio -> Automatic], 

  If[re, Plot[Cos[x], {x, 0, Pi}, PlotStyle -> {Red, Dashed}], gra], 

  If[inv, Plot[ArcCos[x], {x, -Pi, Pi}, PlotStyle -> {Green, Dashed}],

    gra]], {{id, False, "Idéntica"}, {False, True}}, {{re, False, 

   "Restricción"}, {False, True}}, {{inv, False, "Inversa"}, {False, 

   True}}]

Tangente

gra = Graphics[{Point[{0, 0}]}];

Manipulate[

 Show[Plot[{If[id, x, Tan[x]], Tan[x]}, {x, -Pi, Pi}, 

   PlotRange -> {{-Pi, Pi}, {-Pi, Pi}}, AspectRatio -> Automatic], 

  If[re, Plot[Tan[x], {x, -Pi/2, Pi/2}, PlotStyle -> {Red, Dashed}], 

   gra], If[inv, 

   Plot[ArcTan[x], {x, -Pi, Pi}, PlotStyle -> {Green, Dashed}], 

   gra]], {{id, False, "Idéntica"}, {False, True}}, {{re, False, 

   "Restricción"}, {False, True}}, {{inv, False, "Inversa"}, {False, 

   True}}]

Todas en un Aplicativo

gra = Graphics[{Point[{0, 0}]}]; RefLink[

 Off,paclet : ref/Off][message];

f1[x_] := x^2

Manipulate[

 Switch[fun, Sin, aa = -Pi/2; bb = Pi/2; s = 1, Cos, aa = 0; bb = Pi; 

  s = 1, Tan, aa = -Pi/2; bb = Pi/2; s = 1, f1, aa = 0; bb = Pi; 

  s = -1]; Show[

  Plot[{If[id, x, fun[x]], fun[x]}, {x, -Pi, Pi}, 

   PlotRange -> {{-Pi, Pi}, {-Pi, Pi}}, AspectRatio -> Automatic], 

  If[re, Plot[fun[x], {x, aa, bb}, PlotStyle -> {Red, Dashed}], gra], 

  If[inv, Plot[s InverseFunction[fun][x], {x, -Pi, Pi}, 

    PlotStyle -> {Green, Dashed}], gra]], {{fun, Sin, 

   "Función"}, {Sin -> "Seno", Cos -> "Coseno", Tan -> "Tangente", 

   f1 -> " Á\[Divide]É\[Divide]È\[Divide]SuperscriptBox[É\[Divide]xÀ\

\[Divide], É\[Divide]2À\[Divide]]À\[Divide] "}}, {{id, False, 

   "Idéntica"}, {False, True}}, {{re, False, "Restricción"}, {False, 

   True}}, {{inv, False, "Inversa"}, {False, True}}]

Inversas sin Restricción del Dominio

gra = Graphics[{Point[{0, 0}]}];

f1[x_] := x^2

f2[x_] := x^3

Manipulate[aa = -Pi; bb = Pi; 

 Switch[fun, f2, inversa = CubeRoot, Exp, inversa = Log, Log, 

  inversa = Exp, Sqrt, inversa = f1; aa = 0; bb = Pi]; 

 Show[Plot[{If[id, x, fun[x]], fun[x]}, {x, -Pi, Pi}, 

   PlotRange -> {{-Pi, Pi}, {-Pi, Pi}}, AspectRatio -> Automatic], 

  If[inv, Plot[inversa[x], {x, aa, bb}, PlotStyle -> {Green, Dashed}],

    gra]], {{fun, "", "Función"}, {Exp -> "Exponencial", 

   Log -> "Logarítmo", Sqrt -> "Raíz Cuadrada", 

   f2 -> " \!\(\*SuperscriptBox[\(x\), \(3\)]\) "}}, {{id, False, 

   "Idéntica"}, {False, True}}, {{inv, False, "Inversa"}, {False, 

   True}}]

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