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Pronunciación de Nombres de Matemáticos

martes, 28 de marzo de 2017

Números de la Suerte


El término de Números de la Suerte (Lucky Number) fue introducido en 1956 por Gardier, Lazarus, Metropolis y Ulam.

Al igual que la Criba de Eratóstenes que se uso para generar los números primos menores que un número dado, que se mencionó en la Criba de la Parábola (Publicada el 30 de septiembre de 2016), estos Números de la Suerte se generan eliminando números de tanto en tanto a partir de la lista de números enteros positivos, por medio del siguiente procedimiento:

1. Comenzamos con la lista de los primeros 100 enteros positivos, por ejemplo :

lista1 = Range[100]
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100}

2. Se eliminan los números de 2 en 2 :

lista2 = Drop[lista1, {2, 100, 2}]
{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99}

3. Ahora, como el segundo elemento es 3, se eliminan de 3 en 3 :

lista3 = Drop[lista2, {3, Length[lista2], 3}]
{1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 27, 31, 33, 37, 39, 43, 45, 49, 51, 55, 57, 61, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 81, 85, 87, 91, 93, 97, 99}

4. Como el tercer elemento es 7, se eliminan de 7 en 7 :

lista4 = Drop[lista3, {7, Length[lista3], 7}]
{1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 27, 31, 33, 37, 43, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 85, 87, 91, 93, 97, 99}

5. Como el cuarto elemento es 9, se eliminan de 9 en 9 :

lista5 = Drop[lista4, {9, Length[lista4], 9}]
{1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 45, 49, 51, 55, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 85, 87, 93, 97, 99}

Y así, sucesivamente. Como el quinto es 13 estamos seguros que ya los doce primeros de la lista son Números de la Suerte :

{1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, ... }

En Mathematica

Para optimizar el progreso con el siguiente código podemos determinar los Números de la Suerte entre los primeros 1000 enteros positivos.

suerte[1] = Range[1000];

suerte[2] = Drop[suerte[1], {2, Length[suerte[1]], 2}];

n = 2;
While[suerte[n][[n]] < Length[suerte[n]], 
 suerte[n + 1] = 
  Drop[suerte[n], {suerte[n][[n]], Length[suerte[n]], 
    suerte[n][[n]]}]; n++]
n
suerte[n]
Length[suerte[n]]

33

{1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303, 307, 319, 321, 327, 331, 339, 349, 357, 361, 367, 385, 391, 393, 399, 409, 415, 421, 427, 429, 433, 451, 463, 475, 477, 483, 487, 489, 495, 511, 517, 519, 529, 535, 537, 541, 553, 559, 577, 579, 583, 591, 601, 613, 615, 619, 621, 631, 639, 643, 645, 651, 655, 673, 679, 685, 693, 699, 717, 723, 727, 729, 735, 739, 741, 745, 769, 777, 781, 787, 801, 805, 819, 823, 831, 841, 855, 867, 873, 883, 885, 895, 897, 903, 925, 927, 931, 933, 937, 957, 961, 975, 979, 981, 991, 993, 997}

153

Lo consigue en 33 pasos y son 153 Números de la Suerte entre los primeros 1000 enteros positivos.

Comparación con los Números Primos

Al ser construidos por medio de una criba los Números de la Suerte comparten muchas características con los números primos, tales como:

1. Crecimiento asintótico como el descrito en el Teorema de los Números Primos (Publicado 25 de Septiembre de 2016): si L(n) representa el enésimo número de la suerte se tiene que L(n)>P(n) para n suficientemente grande, donde P(n) es el enésimo número primo.

2. Se puede extender la Conjetura de Goldbach (Publicado 2 de Octubre de 2016) a ellos: todo número par se puede expresar como la suma de números de la suerte.

3. Se puede extender la Conjetura de los Primos Gemelos (Publicado 10 de Octubre de 2016) y hablar de una Conjetura de parejas de números de la suerte gemelos: existen infinitas parejas de números de la suerte tales que se diferencian en dos unidades.

4. Un Número Primo de la Suerte es un número de la suerte que es primo, y tiene la conjetura: Existen infinitos Números Primos de la Suerte.

Ejercicio

Realizar código en Mathematica que nos permita verificar las afirmaciones anteriores.

Números de la Suerte de Euler

Otros números que también reciben el nombre de la suerte son los del matemático suizo Leonard Euler, estos son los enteros positivos n tales que para todo entero k tal que 1 <= k < n, el polinomio k^2-k+n produce un número primo.

euler = {};
Do[If[And @@ Table[PrimeQ[k^2 - k + n], {k, n - 1}], 
  AppendTo[euler, n]], {n, 1000}]
euler

{1, 2, 3, 5, 11, 17, 41}

Estos son los únicos seis Números de la Suerte de Euler que existen.


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