Teorema Fundamental del Cálculo

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Función área bajo la curva

Dada la función f(t)=t, definimos la función que calcula el área bajo la curva entre 0 y x:

s[x_] := Integrate[t, {t, 0, x}]

Manipulate[

 Row[{Show[

    Plot[t, {t, 0, 10}, PlotLabel -> Row[{"s(", x, ") = ", s[x]}], 

     ImageSize -> Small], Plot[t, {t, 0, x}, Filling -> Axis]], 

   Plot[s[a], {a, 0, x}, PlotRange -> {{0, 10}, {0, 50}}, 

    ImageSize -> Small, PlotLabel -> "s(x)"]}], {x, 0.0001, 9}]

Visualización de la relación entre el área bajo la curva y la pendiente de la recta tangente

f1[x_] := x^2

g1[x_] := 2 x

f2[x_] := Sin[x]

g2[x_] := Cos[x]

Manipulate[f = Switch[g, g1, f1, g2, f2]; 

 s[x_] := N[Integrate[g[t], {t, 0, x}], 2]; 

 Row[{Show[

    Plot[g[t], {t, -1.5, 10}, 

     PlotLabel -> 

      Row[{"Area Sombreada = ", Text[Style[N[s[x], 2], Green]]}], 

     ImageSize -> 300], Plot[g[t], {t, 0, x}, Filling -> 0], 

    Graphics[{{Red, Dashed, 

       Line[{{x, 0}, {x, g[x]}, {0, g[x]}}]}, {Red, 

       Text[g[x], {-0.5, g[x]}]}}]], 

   Show[Plot[f[t], {t, -1.5, 10}, ImageSize -> 300, 

     PlotLabel -> 

      Row[{"Pendiente de la recta tangente = ", 

        Text[Style[f'[x], Red]]}]], 

    Plot[f'[x] (t - x) + f[x], {t, -1, 10}], 

    Graphics[{{Green, Dashed, 

       Line[{{x, 0}, {x, f[x]}, {0, f[x]}}]}, {Green, 

       Text[N[f[x], 2], {-0.8, f[x]}]}}]]}], {x, 0.5, 

  9}, {{g, g1, 

   "Función"}, {g1 -> "2x y x²", 

   g2 -> "Cos(x) y Sen(x)"}}, ContentSize -> {700, 260}]

Integral vs. Derivada

La altura de la primera es la pendiente de la recta tangente de la segunda, y la altura de la segunda es el área bajo la curva acumulada de la primera.

Así, vemos que: Pendiente de la recta tangente y Area bajo la curva, son problemas relacionados.

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