Area Superficial - Sólido de Rotación

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Determinar el área superficial que se obtiene al hacer girar la función f(x)=x² definida en el intervalo [ 0 , 4 ] y la función f(x) = 15 sen(x) en el intervalo [ 0 , 2 Pi ] ambas con respecto al eje x.

Primero realizamos una partición sobre el eje x, tomamos el intervalo [x(i) , x(i+1)] determinamos el segmento de recta que linealiza la función y se hace girar con respecto al eje x. 

El área superficial es aproximadamente la suma de todas las franjas anteriormente obtenidas, y la aproximación es mejor entre mayor sea el número de particiones.

f1[x_] := x^2;

f2[x_] := 15 Sin[x/2];

b = 0.000001;

Manipulate[a = Switch[f, f1, 4, f2, 2 Pi]; 

 ll = N[aa f[a (2 i - 1)/(2 n)]*

    EuclideanDistance[{a (i - 1)/n, f[a (i - 1)/n]}, {a i/n, 

      f[a i/n]}]]; 

 Show[ParametricPlot3D[{t, 0, f[t]}, {t, 0, 4}, 

   PlotLabel -> 

    If[i > 0 && aa > b, 

     Row[{"Area de la franja = ", Dynamic[ll], 

       Unid^2, ""]], 

  RevolutionPlot3D[f[x], {x, 0, a}, {θ, 0, pp}, 

   AspectRatio -> 1, Mesh -> (n - 1), 

   PlotRange -> {{0, 4}, {-16, 16}, {-16, 16}}, 

   RevolutionAxis -> {1, 0, 0}, PlotStyle -> {Yellow, Opacity[0.2]}, 

   ViewPoint -> {0, -10, 0}], 

  RevolutionPlot3D[{a (i - 1)/n (1 - t) + a i/n t, 0, 

    f[a (i - 1)/n] (1 - t) + f[a i/n] t}, {t, 0, 1}, {θ, 0, 

    aa}, RevolutionAxis -> {1, 0, 0}, Mesh -> 0, 

   PlotStyle -> {Red, Opacity[0.5]}], 

  Graphics3D[{Green, 

    If[seg, Table[

      Line[{{a (k - 1)/n, 0, f[a (k - 1)/n]}, {a k/n, 0, 

         f[a k/n]}}], {k, n}]],

    If[i > 0, {Red, AbsoluteThickness[3], 

      Line[{{a (i - 1)/n, 0, f[a (i - 1)/n]}, {a i/n, 0, f[a i/n]}}]},

      Point[{0, 0, 0}]], Red, 

    If[part, Table[Point[{a k/n, 0, 0}], {k, 0, n}]], 

    If[proy, Table[Point[{a k/n, 0, f[a k/n]}], {k, 0, n}]], Dashed, 

    If[proy, 

     Table[Line[{{a k/n, 0, 0}, {a k/n, 0, f[a k/n]}}], {k, 0, n}]]}],

   PlotRange -> {{0, a}, {-16, 16}, {-16, 16}}, AspectRatio -> 1, 

  ViewPoint -> {0, -10, 0}, AxesOrigin -> {0, 0, 0}, 

  ImageSize -> Medium], 

 "Area Superficial"], {{f, f1, 

   "Función"}, {f1 -> 

    "f(x) =x^2 en [0,4]", 

   f2 -> "f(x) = 15 Sen(x/2) en [0,2Pi]"}}, 

 Text[Style["Paso a paso", Medium]], {{part, False, 

   "Particiones"}, {False, True}}, {{n, 2, 

   Column[{"Número de", " Particiones"}]}, 1, 10, 1, 

  Appearance -> "Open"}, {{proy, False, "Proyecciones"}, {False, 

   True}}, {{seg, False, "Linealización"}, {False, True}}, {{i, 0, 

   "Escoger Partición"}, 0, n, 1, 

  Appearance -> "Open"}, {{aa, b, "Rotación de la franja"}, b, 2 Pi, 

  ControlType -> Trigger}, {{pp, b, "Rotación de la superficie"}, b, 

  2 Pi, ControlType -> Trigger}, ControlPlacement -> Left]

Ejemplo 1

Determinar el área superficial que se obtiene al hacer girar la función f(x) = x^2 en el intervalo [0,4] alrededor del eje x.

Realizamos las particiones sobre el eje x, que tienen una longitud de:

así, el área superficial de cada franja es :

Tabla de los valores de A(i),

f[x_] := x^2; a = 4; Manipulate[

 ss = Sum[N[

    2 Pi f[a (2 i - 1)/(2 n)]*

     EuclideanDistance[{a (i - 1)/n, f[a (i - 1)/n]}, {a i/n, 

       f[a i/n]}]], {i, n}];

 Quiet@TableForm[

   AppendTo[

    Table[{A(i), 

      N[2 Pi f[a (2 i - 1)/(2 n)]*

        EuclideanDistance[{a (i - 1)/n, f[a (i - 1)/n]}, {a i/n, 

          f[a i/n]}]]}, {i, n}], {"TOTAL", ss}], 

   TableHeadings -> {None, {"Franja", "Area Superficial"}}], {n, 1, 

  50, 1}]

Por la integral, tenemos :

816.566

Ejemplo 2

Determinar el área superficial que se obtiene al hacer girar la función f(x) = 15 Sen(x/2) en el intervalo 

[ 0 , 2 Pi ] alrededor del eje x.

Realizamos las particiones sobre el eje x, que tienen una longitud de:

así, el área superficial de cada franja es :

Tabla de los valores de A(i)

f[x_] := 15 Sin[x/2]; a = 2 Pi; Manipulate[

 ss = Sum[N[

    2 Pi f[a (2 i - 1)/(2 n)]*

     EuclideanDistance[{a (i - 1)/n, f[a (i - 1)/n]}, {a i/n, 

       f[a i/n]}]], {i, n}];

 Quiet@TableForm[

   AppendTo[

    Table[{A(i), 

      N[2 Pi f[a (2 i - 1)/(2 n)]*

        EuclideanDistance[{a (i - 1)/n, f[a (i - 1)/n]}, {a i/n, 

          f[a i/n]}]]}, {i, n}], {"TOTAL", ss}], 

   TableHeadings -> {None, {"Franja", "Area Superficial"}}], {n, 1, 

  50, 1}]

Por la integral, tenemos :

1494.4


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